Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОДЕЛИ ВАГОНА

Сафина Г.Ф. 1
1 ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет» Нефтекамский филиал
Рассмотрена прямая спектральная задача определения частот свободных колебаний модели вагона. Получено частотное уравнение колебаний модели. По решению прямой задачи исследована зависимость частот колебаний модели вагона от ее жесткостных и массовых параметров. Показано, что увеличение жесткостных параметров ведет к увеличению частот, а увеличение массовых параметров – к уменьшению частот колебаний модели. Поставлена и решена обратная задача диагностирования жесткостных и массовых параметров модели вагона по известным частотам ее свободных колебаний. Рассмотрена задача диагностирования жесткостей рессоры и рельсового основания, задача диагностирования массы вагона и массы колеса. Исследована единственность решения обратных задач, доказаны соответствующие теоремы. Получены аналитические формулы для жесткостных и массовых характеристик. Предложены методы решения задач, использующие две частоты колебаний модели вагона. Даны примеры решений прямой и обратной задач, графики зависимостей.
модель вагона
частотное уравнение
частоты колебаний
жесткостные и массовые параметры
диагностирование параметров
1. Бабаков И.М. Теория колебаний: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2004. – 593 с.
2. Биргер И.А. Техническая диагностика. – М.: Машиностроение, 1978. – 239 с.
3. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. – М.: Машиностроение, 1987. – 282 с.
4. Ланкастер П. Теория матриц: пер. с англ. – М.: Наука, 1982. – 227 с.
5. Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. – М.: Машиностроение, 1971. – 311 с.
6. Сафина Г.Ф. Моделирование в диагностировании закреплений цилиндрических оболочек. – Уфа: БашГУ, 2010. – 164 с.
7. Сафина Г.Ф. Диагностирование характеристик валов: монография. – Уфа: БашГУ, 2011. – 122 с.
8. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Физматгиз, 1959. – 440 с.
9. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. – Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2011. – 180 с.

Решения прямой и обратной спектральных задач колебаний модели вагона связаны с тем, что в ряде случаев колебания мешают нормальной эксплуатации вагона или даже непосредственно угрожают прочности, постепенно подготавливая усталостное разрушение; в таких случаях теория может указать пути для уменьшения вредных колебаний.

В настоящее время широкое развитие имеет направление, возникшее на стыке теории механизмов с акустикой, решающее задачи безразборной диагностики технических конструкций [2, 3, 5–7].

Свободные колебания механических систем, в том числе вагонов, их моделей, находят описание во многих работах по теории колебаний (см., например, [1, 8, 9]). Но в них рассматриваются прямые задачи по определению частот колебаний модели вагона. В представленной работе по прямой задаче исследована зависимость частот колебаний модели вагона от ее жесткостных и массовых параметров. Впервые поставлены и решены обратные задачи диагностирования параметров модели вагона по известным частотам ее свободных колебаний.

Прямая задача определения частот колебаний модели вагона

Рассмотрим собственные колебания модели вагона [9], представленной на рисунке.

pic_49.tif

а б

Модель вагона. Здесь: m1 = G1/g – масса кузова; m2 = G2/g – масса колеса; G1 и G2 – соответственно веса верхнего и нижнего грузов (вагона и колеса); g – ускорение силы тяжести; c1 – жесткость рессоры; c2 – жесткость рельсового основания

 

Рассматривается консервативная система, которой дано начальное возмущение, переводящее систему в колебательный процесс. Сила инерции массы m1:

safina01.wmf

где safina02.wmf – ускорение массы m1 при ее перемещении z1. Внешняя сила, действующая на массу m1, определяется сжатием рессоры, равна c1(z1 – z2) и направлена навстречу силе I1 (рисунок, б):

safina03.wmf

Внешними силами по отношению к массе m1 являются сила, передаваемая нижним концом верхней пружины c1(z1 – z2), и сила, вызванная деформацией нижней пружины, – c2z2. Значит, для сил, действующих на массу m2, справедливо уравнение

safina04.wmf

В итоге получим следующую систему дифференциальных уравнений, определяющую свободные колебания модели вагона:

safina05.wmf (1)

Полагая, что механическая система совершает свободные гармонические колебания, решение системы (1) рассматриваем в виде

safina06.wmf

safina07.wmf

где A и B – амплитуды; λ – неизвестная угловая частота собственных колебаний.

Подставив решения z1 и z2 в систему (1), получим систему уравнений, решая которую относительно ненулевых амплитуд колебаний A и B, имеем:

safina08.wmf

Раскрыв определитель, получим частотное уравнение свободных колебаний модели вагона:

safina09.wmf (2)

Решая уравнение (2), получим аналитические формулы для частот колебаний модели:

safina10.wmf (3)

Таким образом, по формуле (3) при известных массах вагона и колеса и жесткостях рессоры и рельсового основания можно определять частоты колебаний системы. Решение прямой задачи рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Определить частоты колебаний модели вагона, для которого известны параметры

m1 = 23000 кг;

m2 = 4000 кг;

c1 = 7800 Н/м;

c2 = 2890 Н/м. (4)

Решение

Частотное уравнение (2) после подстановки в него заданных параметров (4) принимает вид

safina11.wmf

Решение, найденное с помощью ЭВМ:

safina12.wmf

Следовательно, частоты колебаний модели вагона: λ1 = 0,2892 с–1, λ2 = 1,7111 с–1. Эти же частоты колебаний получим, подставляя заданные физические параметры в формулы (3).

Исследуем влияние жесткостных параметров модели вагона на частоты ее колебаний. Рассмотрим физические параметры (4) и будем менять, например, жесткость рессоры при неизменных остальных параметрах модели. Результаты решений прямой задачи (табл. 1) показывают что увеличение коэффициента жесткости рессоры ведет к увеличению частот колебаний модели вагона.

Таблица 1

Зависимость частот λi от жесткости c1 рессоры при параметрах (4) модели вагона

c1, Н/м

λ1, c–1

λ2, c–1

7800

0,2892

1,7111

8500

0,2919

1,7696

9000

0,2936

1,8103

Подобные зависимости устанавливаются и при увеличении коэффициента жесткости рельсового основания или одновременном увеличении жесткостных параметров модели, что подтверждают, например, табл. 2 и 3.

Таблица 2

Зависимость частот λi от жесткости c2 рельсового основания при параметрах (4) модели вагона

c2, Н/м

λ1, c–1

λ2, c–1

2890

0,2892

1,7111

3500

0,3110

1,7513

4300

0,3348

1,8033

Таблица 3

Зависимость частот λi от коэффициентов жесткостей c1, c2 при параметрах (4) модели вагона

c1, Н/м

c2, Н/м

λ1, c–1

λ2, c–1

2890

2890

0,2892

1,7111

8500

3500

0,3144

1,7520

9000

4300

0,3418

1,8102

Аналогичные исследования проведены по влиянию массовых параметров модели вагона на частоты ее колебаний, и получено, что увеличение масс ведет, наоборот, к уменьшению частот колебаний. Например, в табл. 4 и 5 приведены зависимости частот колебаний от массы вагона и массы колеса вагона.

Таблица 4

Зависимость частот λi от массы m1 вагона при параметрах (4) модели вагона

m1, кг

λ1, c–1

λ2, c–1

23000

0,2892

1,7111

24500

0,281

1,7064

28000

0,2643

1,6974

Таблица 5

Зависимость частот λi от массы m2 колеса при параметрах (4) модели вагона

m2, кг

λ1, c–1

λ2, c–1

4000

0,2892

1,7111

5500

0,2844

1,4838

6500

0,2813

1,3800

Проведенные исследования по влиянию физических параметров модели вагона на частоты ее свободных колебаний важны при решении проблемы сохранения безопасных частот колебаний механической системы при изменениях ее параметров. Последнюю проблему можно будет решить с помощью метода решения обратной спектральной задачи.

Обратная задача диагностирования параметров модели вагона

Поставим к прямой спектральной задаче обратную – задачу диагностирования жесткостных и массовых параметров модели вагона по известным частотам ее колебаний. Рассмотрим вначале задачу диагностирования жесткостных параметров модели.

Обратная задача. Известны частоты колебаний модели вагона и массовые параметры. Неизвестны жесткостные параметры: коэффициенты рессоры и рельсового основания.

Исследуем вопрос о единственности решения поставленной обратной задачи [6]. При решении прямой задачи было получено уравнение (3), которое преобразуем к виду

safina13.wmf (5)

где функции fi(λ) (i = 1, 2, 3) выражаются через частоту колебаний и массовые параметры:

safina14.wmf

safina15.wmf

safina16.wmf

Введем обозначения: задачу с частотным уравнением (5) и жесткостями c1 и c2 рессоры и рельсового основания обозначим через L, а задачу с такими же массовыми параметрами модели, но с другими жесткостями safina17.wmf и safina18.wmf рессоры и рельсового основания обозначим через L′. Частотное уравнение задачи L′ будет иметь вид

safina19.wmf (6)

Справедлива теорема.

Теорема 1. Если собственные частоты задач L и L′ с характеристическими определителями Δ(λ) и Δ′(λ) совпадают с учетом их кратностей, то safina20.wmf и safina21.wmf.

Доказательство. Собственные частоты задачи L являются корнями целой функции [4] – частотного уравнения (5), а собственные частоты задачи L′ – корнями уравнения (6). Причем функции fi(λ) (i = 1, 2, 3) не зависят от коэффициентов жесткостей c1 и c2 и образуют систему линейно независимых функций.

Так как функции Δ(λ) и Δ′(λ) являются целыми функциями от λ и не равны тождественно нулю, то они восстанавливаются по своим нулям с точностью до постоянного множителя K. Значит, safina22.wmf. Из линейной независимости функций fi(λ) (i = 1, 2, 3) и последнего равенства имеем K = 1. Значит, safina23.wmf и safina24.wmf. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что жесткостные параметры можно восстановить по известным значениям собственных частот колебаний модели вагона.

Построим теперь метод определения жесткостных параметров модели. Пусть известны две собственные частоты λ1 и λ2, тогда имеем систему уравнений

safina25.wmf (7)

из которой с учетом функций fi(λ) (i = 1, 2, 3) получим аналитические выражения для коэффициентов жесткостей рессоры и рельсового основания:

safina26.wmf

safina27.wmf (8)

Таким образом, если известны две собственные частоты колебаний модели вагона, то жесткостные параметры определяются по формулам (8).

Пример 2. Определить жесткость рессоры и рельсового основания, если для модели вагона известны частоты колебаний

λ1 = 0,2892 с–1,

λ2 = 1,7111 с–1

и массовые параметры

m1 = 23000 кг;

m2 = 4000 кг.

Решение

Подставляя заданные частоты колебаний и массовые параметры в формулы (8), имеем

c1 = 7799,9999;

c2 = 2889,9999.

Значит, жесткости равны

c1 = 7800 c–1;

c2 = 2890 c–1.

Заметим, что значения c1, c2 определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим жесткостям рессоры и рельсового основания соответствуют заданные значения частот модели вагона.

Поставим теперь обратную задачу диагностирования массовых параметров модели вагона.

Обратная задача. Известны частоты колебаний модели вагона и жесткостные параметры. Неизвестны массовые параметры: масса вагона и масса колеса.

Частотное уравнение (2) преобразуем к виду

safina28.wmf (9)

в котором функции gi(λ) (i = 1, 2, 3) имеют вид

safina29.wmf

safina30.wmf

safina31.wmf

Так же, как и при решении обратной задачи диагностирования жесткостных параметров, исследована единственность решения поставленной задачи. При этом рассмотрены: V – задача с массами m1, m2 и частотным уравнением (9), V′ – задача с массами safina32.wmf, safina33.wmf и частотным уравнением

safina34.wmf

Доказана теорема.

Теорема 2. Если собственные частоты задач V и V′ с характеристическими определителями Δ(λ) и Δ′(λ) совпадают с учетом их кратностей, то

safina35.wmf;

safina36.wmf.

Приведем метод определения массовых параметров. Если известны значения двух частот колебаний модели вагона, то имеем систему уравнений вида (9), из которой получим аналитическое решение относительно массы вагона и массы колеса:

safina37.wmf

safina38.wmf (10)

Пример 3. Известны частоты колебаний λ1 = 0,2892 с–1, λ2 = 1,7111 с–1 модели вагона и жесткостные параметры c1 = 7800 Н/м; c2 = 2890 Н/м. Необходимо найти массу вагона и массу колеса.

Решение

Подставляя заданные частоты и жесткостные параметры в формулы (10), находим, что m1 = 23000 кг; m2 = 4000 кг. Заметим снова, что значения масс m1, m2 определены верно, что подтверждает решение прямой спектральной задачи при заданных параметрах модели вагона.

Заключение

Исследована прямая задача определения частот свободных колебаний пружинно-массовой модели вагона. Впервые поставлены обратные задачи – задачи диагностирования физических параметров модели вагона по известным частотам ее свободных колебаний. Решены обратные задачи определения жесткостных и массовых характеристик модели вагона. Исследована единственность решения задач, доказаны соответствующие теоремы. Получены аналитические формулы для определения коэффициентов жесткостей рессоры и рельсового основания, а также для масс вагона и колеса. Предложены методы решения задач, использующие значения двух частот колебаний модели вагона. Приведены примеры решений обратных задач.

Методы решений обратных задач можно использовать при решении проблемы сохранения безопасных частот колебаний модели вагона при изменениях ее жесткостных и массовых параметров.

Рецензенты:

Урманчеев С.Ф., д.ф.-м.н., профессор, директор, ФГБУН «Институт механики им. Р.Р. Мавлютова» Уфимского научного центра РАН, г. Уфа;

Ахтямов А.М., д.ф.-м.н., проф., зав. кафедрой механики сплошных сред, ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Уфа.

Работа поступила в редакцию 01.04.2015.



Библиографическая ссылка

Сафина Г.Ф. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОДЕЛИ ВАГОНА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2-11. – С. 2364-2369;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=37447 (дата обращения: 14.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074