В работе [4] рассмотрена задача планирования инвестиций с учетом рисков и методика ее решения средствами линейного программирования в случае, когда долговое обязательство заемщика (следовательно, и срок жизни инвестиционного проекта) составляет 6 месяцев. В [1] представлено решение этой задачи, полученное с помощью пакета MathCad. В данной статье эта задача обобщается на произвольное конечное число месяцев.

1. Постановка задачи

В кредитную организацию (банк) обратились для получения кредитов несколько организаций с различными инвестиционными проектами [1]. Через n месяцев банку необходимо получить за предоставляемые кредиты x долларов с учетом прибыли, при этом возвратность кредита через v месяцев должна составить y долларов.

Среди предложенных и потенциально реализуемых проектов банку необходимо выбрать наиболее прибыльные для него, при этом те проекты, которые обладают повышенными рисками, должны компенсироваться проектами с меньшими рисками, а длительные - должны выполняться одновременно с краткосрочными [1].

Потребуем, чтобы в течение каждого месяца средний индекс риска инвестиционных проектов sср не превышал l, т.е. sср ≤ l, и в начале каждого месяца средняя продолжительность погашения инвестиционных проектов не превышала r месяцев.

Цель работы - при данных способах инвестирования и утвержденном графике выплат разработать модель, минимизирующую сумму денег, которую банк должен затратить на инвестирование проектов.

2. Обобщенная математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков

Обозначим через k1, k2, k3, ..., kv, ..., km - все возможные делители числа n, km = n. Так как банку необходимо получить за предоставляемые кредиты x долларов через n месяцев, то под ki (i = 1, 2, ..., m) будем понимать периоды инвестиционных вложений всех возможных инвестиционных проектов.

Пусть Ai (i = 1, 2, ..., m) - инвестиционный проект с периодом инвестиционных вложений ki (i = 1, 2, ..., m); Li (i = 1, 2, ..., m - 2) - заключительный момент инвестирования проекта Ai+1 (i = 1, 2, ..., m - 2); δi (i = 1, 2, ..., m) - процент прибыли, выплачиваемый организацией банку согласно, инвестиционного проекта Ai (i = 1, 2, ..., m); si (i = 1, 2, ..., m) - индекс риска при реализации Ai (i = 1, 2, ..., m). Все возможные способы инвестирования проектов представлены в табл. 1.

Возможные способы инвестирования проектов

Построим математическую модель, позволяющую минимизировать начальную сумму F, которую банк затрачивает на инвестирование проектов, при сохранении ожидаемой прибыли.

Обозначим через X_α(A_β) - объем вложений в момент (α = 1, 2, ..., n) в инвестиционный проект A_β (β = 1, 2, ..., m). В соответствии с таблицей для каждого проекта Aβ величина Xα(Aβ) будет изменяться в каждый момент α следующим образом:

• при инвестировании в проект A1:

где n - число различных объемов инвестирования;

• при инвестировании в проект A₂:

где  - число различных объемов инвестирования;

• при инвестировании в проект A3:

где  - число различных объемов инвестирования;

..............................................................................

• при инвестировании в проект A_v:

где  - число различных объемов инвестирования;

............................................................................

• при инвестировании в проект A_m:

             (1)

здесь , т.е. число различных объемов инвестирования в проект A_m равно 1. Индекс Li (i = 1, 2, ..., (m - 2)) - в (1) указывают на заключительные (последние) моменты инвестирования проектов.

Условие минимизации объема вложений банком в начальный момент в рассматриваемые проекты, согласно введенным обозначениям, будет иметь вид:

 (2)

Укажем ограничения, которым должны удовлетворять объемы вложений X_α(A_β) (α = 1, 2, ..., n; β = 1, 2, ..., m). Согласно постановке задачи (см. п. 1), банку для погашения других расходов необходима возвратность инвестируемых вложений объемом у долларов через v месяцев; в моменты 1, 2, ..., v - 1, v + 1, ... n - 1, n месяцев дополнительные расходы не подразумеваются, а в n-ом месяце необходима возвратность инвестируемых вложений (x - y) долларов для реализованных инвестиционных проектов. Согласно этим требованиям будем иметь соотношение:

 -

объемы вложений на конец первого месяца, т.е.

 -

объемы вложений на конец второго месяца;

.........................................................

 -

объемы вложений на конец v-го месяца;

..................................................................

 -   (3)

объемы вложений на конец n-го месяца; 

где  - означает суммирование по тем j (i = 1, 2, ..., m), для которых k_j является делителем v.

Последнее соотношение не содержит отрицательных слагаемых (вычитаемого), т.к. вложения, согласно постановке задачи, не будут осуществляться в (n + 1)-м месяце.

Формула для вычисления индекса среднего риска для различных инвестиционных проектов A₁, A₂, ..., A_m с индексами риска s₁, s₂, ..., s_m имеет вид [4]:

 (4)

Согласно этой формуле, для первого периода времени индекс среднего риска, не превышающий величины l, удовлетворяет неравенству:

для второго периода -

..........................................................

для периода v (v ≠ 1), -

.........................................................

для периода n -

   (5)

где  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1),  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же Aj -го (j = 1, 2, ..., m).

Из соотношений (5) имеем:

 (6)

Формула для вычисления средней продолжительности инвестирования различных проектов A1, A2, ..., Am с периодами инвестиционных вложений соответственно 1, k1, k2, ..., km-1, n имеет вид [4]:

 (7)

Тогда средняя продолжительность инвестирования в течение первого месяца, учитывая, что она не должна превосходить r, имеет вид:

второго месяца -

..................................................................................

месяца v (v ≠ 1), -

...................................................................................

месяца n -

         (8)

где  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых k_j < v и k_j является делителем (v - 1),  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же Aj -го
(j = 1, 2, ..., m).

Из неравенств (8) следует, что:

 (9)

Очевидно, что:

 (10)

где индексы L_i (i = 1, ..., (m - 2)) - это заключительные моменты инвестирования проекта.

Соотношения (2), (3), (6), (9), (10) представляют собой математическую модель оптимального инвестирования предприятий с учетом рисков.

3. Пример

В кредитную организацию (банк) обратились для получения кредитов четыре организации с различными инвестиционными проектами [1]. Через 6 месяцев банку необходимо получить за кредит 750000 долларов с учетом прибыли, и для погашения других расходов банка, возвратность кредита через 2 месяца должна составить 150000 долларов.

Длительность представленных от организаций инвестиционных проектов составляет 1, 2, 3 и 6 месяцев. Процент за кредит каждой организации составляет соответственно 1,5; 3,5; 6; 11. Индексы рисков для каждого инвестиционного проекта организаций составляют соответственно 1, 4, 9, 7.

При данных способах инвестирования и утвержденном графике выплат необходимо разработать модель, минимизирующую сумму денег, которую банк должен затратить на инвестирование проектов, учитывая, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестиционных проектов не превышает 6, и в начале каждого месяца средняя продолжительность погашения инвестиционных проектов не превышает 2,5 месяцев [4].

Поставленная задача при указанных данных полностью совпадает с задачей, рассмотренной в [1]. Ее решение, полученное с помощью обобщенной модели (2), (3), (6), (9), (10) и Microsoft Office Exel, совпадает с решением, приведенным в [1]. На основании вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что описанный подход к решению поставленной задачи оказался успешным и перспективным.

Заключение

В работе представлена обобщенная математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков для произвольного числа месяцев инвестирования. Эта модель представляет собой задачу линейного программирования с целевой функцией (2) и ограничениями (3), (6), (9), (10).

В результате реализации поставленной цели были выведены формулы, предназначенные для решения задачи планирования инвестиций с учетом рисков для случая, когда долговое обязательство заемщика составляет произвольное число месяцев.

Рецензенты:

Дударев Ю.И., д.т.н., профессор ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;

Уртенов М.Х., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.

Работа поступила в редакцию 24.06.2011.