Представление большинства существующих математических моделей систем физической защиты (СФЗ) [3, 4, 7, 9, 11, 12 и др.] произведено методом прямого описания [10], основанного на вероятностных мерах. В то же время решение задачи структурно-параметрического синтеза обуславливает необходимость косвенного описания: представления входных (управляемых) переменных модели СФЗ, составления уравнения связи, учитывающее топологическую структуру СФЗ и позволяющее определить значения выходных параметров [10]. В [5] на основе анализа модели системы безопасности объекта (метасистемы СФЗ) произведена формализация математической модели СФЗ со сложной топологией в виде ориентированного мультиграфа [5]:

S = S(X, Γ, D, H), (1)

где X – конечное множество вершин графа S; Γ – отображение , заданное конечным подмножеством дуг , – множество неотрицательных целых чисел; D ⊂ X – множество элементов «объект защиты»; H ⊂ X – множество элементов «субъект угрозы».

Предложенное представление ограничивает постановку задачи синтеза до параметрического. Другими словами, на основе сформированной в [5] математической модели возможно решение задачи синтеза, обеспечивающего рациональный набор опций по реализации рубежей защиты – весов ребер орграфа, определяемых из указанного множества «…альтернативных реализаций рубежа защиты …» [5] с учетом заранее заданной топологией СФЗ.

В свою очередь структурно-параметрический синтез комплекса инженерно-технических средств (КИТС) СФЗ предполагает проведение совместного решения задачи нахождения рациональных (с точки зрения заданного критерия эффективности):

1) топологии КИТС СФЗ, определяющей расстановку и смежность между узлами орграфа (подступами к объекту, рубежами защиты и охраняемыми зонами) с учетом ограничения на существование путей (доступа) от подступов до объекта к определенным зонам охраны, т.е. задача структурного синтеза;

2) плана установки на рубежах защиты различных технических средств охраны (ТСО), т. е. задача параметрического синтеза.

Цель статьи заключается в разработке математической модели КИТС СФЗ, позволяющей учесть структурные и функциональные свойства системы физической защиты объекта охраны.

Математическая модель КИТС СФЗ объекта охраны

Представим структуру КИТС СФЗ объекта охраны в виде многоуровневой иерархической системы с сильными связями [8], топология которой задана в виде ориентированного связного графа G(V, E) без петель и кратных рёбер (корневого ориентированного графа с древовидной структурой) [2], представленного совокупностью непустого множества вершин V и множества ребер E двухэлементных подмножеств множества V [8]:

(2)

где , а , , (N и M – общее число вершин и ребер графа соответственно).

В соответствии с типом синтезируемой системы множество вершин V графа G(V, E) представим совокупностью трех непересекающихся подмножеств:

1) Vs – подступы к объекту (корни ориентированного дерева);

2) Vp – рубежи защиты (промежуточные вершины ориентированного дерева);

3) Ve – охраняемые зоны (листья ориентированного дерева), где V = Vs ∪ Vp ∪ Ve с условиями: Vs ∩ Vp ∩ Ve = ∩V, N = N1 + N2 + N3.

В рамках рассматриваемой задачи ребра графа задают «правила взаимодействия» между элементами (вершинами графа) иерархической системы, т.е. по существу определяют возможность доступа (пути) нарушителя к охраняемым зонам (вершинам графа). Геометрическое представление ориентированного графа G(V, E) в рассматриваемой постановке задачи отражено на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическое представление ориентированного графа G(V, E)

Ориентированный граф G(V, E) зададим двумя матрицами инцидентности для прямого и обратного потоков и соответственно, элементы которых определяются выражениями [13]

(3)

(4)

причем где – общая матрица инцидентности для графа G(V, E). Поскольку решением задачи синтеза структуры иерархической системы является некоторая древовидная структура, то для нахождения оптимальной система должна содержать все возможные орграфы древовидного типа с корнями Vs и висячими вершинами Ve. Будем считать, что корни графа опираются на некоторый полносвязный подграф, построенный на заданном множестве вершин, а листья соединены со всеми вершинами полносвязного подграфа.

С учетом возможной разнородности рубежей защиты подмножество Vp множеств вершин V исходного графа представляется объединением R непересекающихся множеств , где r-е множество определяет совокупность рубежей защиты r-го типа, характеризующегося различной степенью защиты от возможных способов преодоления. Последнее задает характеристику i2-х рубежей защиты соответствующих r-м типам в виде матрицы (i2, k)-е элементы которого отражают вероятность преодоления i2-го рубежа защиты k-м способом. В свою очередь различные условия расположения подступов к объекту охраны обусловливают неоднородность распределения вероятностей задания пути проникновения злоумышленника через них на охраняемый объект, численно задаваемый исходным вектором – вероятности угрозы со стороны i1-х подступов к объекту охраны.

Формальное представление задачи параметрического синтеза состоит в определении рационального плана установки ТСО на i2-х рубежах защиты. С учетом указанной возможности установки на рубежах ТСО различного класса в исходной постановке задачи задается P типов ТСО, характеризующихся матрицей и вектором стоимости p-го типа ТСО. Элементы матрицы U определяют вероятность защиты p-м ТСО от k-го способа преодоления рубежа злоумышленником. При этом размещение определенного числа ТСО на рубежах защиты ограничено заданным максимальным значением стоимости используемых ресурсов .

Исходная характеристика i3-х охраняемых зон задается вектором значимости, i3-е элементы которого численно определяют материальный ущерб от злоумышленника в случае доступа к i3-й зоне охраны. Ограничения на топологическую структуру синтезируемого КИТС СФЗ задается матрицей элементы которой определяют правило существования пути из i1-го подступа к объекту в i3-ю охраняемую зону:

(5)

С учетом принятых представлений и сформированной на их основе структурной схемы КИТС СФЗ (рис. 2) произведем описание математической модели КИТС СФЗ путем указания характеристик ее входных и выходных параметров и их математической взаимосвязи. Последнюю представим функциональным оператором Ψ(X, Y, T), преобразующим пространство матриц управляющих переменных и в выходной параметр, величина которого количественно характеризует заданный критерий эффективности КИТС СФЗ. Элементы матриц управляющих переменных X и Y определяют соответствующие элементы матриц инцидентности для прямого Hin и обратного Hout потоков синтезируемой структуры СФЗ. Элементы матрицы T характеризуют количество устанавливаемых на i2-м рубеже защиты p-х типов ТСО. При этом элементы матриц управляющих переменных X, Y, T могут принимать фиксированные значения, множества которых определяются условиями:

(6)

(7)

где – множество неотрицательных целых чисел: {0, 1, 2, ...}.

Принятые обозначения позволяют записать обобщенную задачу структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ в виде:

(8)

с учетом ограничения на максимально допустимую стоимость устанавливаемых ТСО на i2-х рубежах защиты:

(9)

Вышеописанное позволяет разработать обобщенное геометрическое представление задачи структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ (рис. 3).

Сформированное представление позволяет перейти к разработке функциональной зависимости целевой функции (8) от матриц управляемых переменных X, Y, T, определяющей критерий эффективности КИТС СФЗ, заданного по правилу «результативность – стоимость».

Рис. 2. Структурная схема комплекса инженерно-технических средств системы физической защиты объекта охраны

Рис. 3. Геометрия решения задачи структурно-параметрического синтеза системы физической защиты

Критерий оценки эффективности структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ

С целью определения аналитической зависимости целевой функции (8) от матриц управляющих переменных X, Y, T введем следующие представления.

Утверждение 1. Для ориентированного графа G(V, E) без петель и кратных ребер произвольной топологии, заданной двумя матрицами инцидентности для прямого и обратного потоков, матрица достижимости S(r) для путей длины r ∈  определяется в соответствии с равенством

(10)

где операция определяет композицию отношений степени r.

Доказательство. Пусть G(V, E) есть ориентированный граф без петель и кратных ребер, состоящий из N вершин и M дуг, топология которого задана двумя матрицами размерности N×M инцидентности для прямого Hin и обратного Hout потоков. Тогда композиция отношения матрицы и транспонированной матрицы будет характеризоваться матрицей , (i′, j′)-й элемент которой определяется в соответствии с отношением

. (11)

Поскольку и определяют инцидентность m-го ребра к i’-й и j’-й вершинам соответственно, очевидно, что элемент матрицы для ориентированного графа G(V, E) без петель и кратных ребер в конечном счете задает достижимость вершины i’ к вершине j’ через одно ребро (для пути кратности 1), т.е. по существу определяет смежность вершин i’ и j’.

Тогда в соответствии с теоремой 1.4, доказательство которой представлено в [1], возведение матрицы смежности в натуральную степень r определяет матрицу -е элементы которой задают число – маршрутов длины r, а соответственно композиция отношений степени r над матрицей определяет матрицу достижимости S(r)для путей длины r ∈ .

Следствие 1 из утверждения 1. В соответствии с выраженим (10) матрица достижимости для всех возможных путей кратности от 1 до R будет задаваться соотношением

(12)

Следствие 2 из утверждения 1. Для ориентированного взвешенного графа G(V, E) без петель и кратных ребер, для которого задан вектор весов ребер , матрица смежности определяется равенством

(13)

где – оператор преобразования произвольного вектора размерностью N в диагональную матрицу N×N, элементы главной диагонали которой соответствуют элементам исходного вектора, а все остальные элементы (расположенные выше/ниже главной диагонали) равны 0.

С учетом отношений (10), (12), (13) определим искомое аналитическое представление функции Ψ(X, Y, T), задающей обратную величину суммарного вероятного уровня ущерба (риска [14]) КИТС СФЗ, в виде равенства

(14)

где S(Z) – векторная функция, преобразующая N3 мерный вектор значимости охраняемых зон в вектор размерности N, элементы которого определяют значимость i-й вершины графа (узла СФЗ)

Ω(X, Y, T) – векторная функция, обратная величине действительного риска размерности N, элементы которой задают вероятность защиты от угрозы к i-м узлам КИТС СФЗ с учетом воздействий субъектов защиты (ТСО) на субъект угрозы (злоумышленника), и определяются в соответствии с отношением

(15)

Здесь A′(X, Y, T) – матрица размерности N×N, (i, j)-е, элементы которой задаются в виде:

(16)

где G(r, X, Y, T) – матричная функция размерности N×N, определяемая рекурсией:

(17)

В выражении (16) применение оператора задает значение максимальной вероятности угрозы для всех возможных путей кратности r. Последнее определяет решение задачи структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ на «наихудший случай», обусловленное необходимостью нахождения оптимального решения в условиях полной априорной неопределённости о стратегии злоумышленника [15].

В выражении (17) W(T) – векторная функция размерности N, i-е элементы которой задаются в соответствии с равенством

(18)

где ϒ(T) – векторная функция размерностью N2, элементы которой характеризуют вероятность препятствованию действиям злоумышленника хотя бы одного ТСО (вероятность появления хотя бы одного события [6]), устанавливаемого на i2-м рубеже защиты, и задаются отношением

(19)

С учетом представлений, рассмотренных выше, критерий эффективности КИТС СФЗ, заданный по правилу «результативность – стоимость» в исходной задаче структурно-параметрического синтеза, примет вид:

(20)

при условии, что:

(21)

где D(R, X, Y, T) – матрица размерности N×N достижимости всех возможных путей кратности от 1 до R, определяемой в соответствии с выражением (12).

Значение R определяет максимально возможную длину пути в синтезируемой структуре КИТС СФЗ и в первом приближении задается равным числу промежуточных пунктов графа исходной задачи N2 (рубежей защиты).

С целью сведения двухкритериальной задачи (20) к однокритериальной представим обобщенный критерий эффективности КИТС СФЗ в виде отношения максимизируемой функции к минимизируемой:

(22)

Значение функции Θ(X, Y, T) в выражении (22) аналогично [8] определяет рентабельность СФЗ.

Выводы

Разработана математическая модель КИТС СФЗ, отличающаяся тем, что сформированное представление позволяет учесть структурные и функциональные свойства КИТС СФЗ: структуру (3), (4), определяющую топологические связи между подступами к объекту, рубежами защиты и охраняемыми зонами; k-е способы преодоления рубежей защиты; различие ТСО по принципу действия, обеспечивающих разноэффективный уровень защиты рубежа от известных способов его преодоления; стоимость технических средств охраны; ограничение на допустимую стоимость устанавливаемых технических средств охраны, необходимых для решения задачи по нахождению рациональных топологий КИТС СФЗ и плана установки на рубежах защиты различных ТСО.

На основе произведенной формализации определена аналитическая зависимость (22) критерия оценки эффективности КИТС СФЗ, количественно определяющего его рентабельность, от матриц управляющих переменных и , элементы которых задают структурную топологию синтезируемой КИТС СФЗ и плана установки на рубежах защиты различных ТСО.

Рецензенты:

Саитов И.А., д.т.н., профессор, сотрудник Академии ФСО России, г. Орел;

Иванов Б.Р., д.т.н., профессор, сотрудник Академии ФСО России, г. Орел.

Работа поступила в редакцию 03.06.2013.