Отдельные виды суспензий при соответствующих размерах и концентрации мелкодисперсных частиц демонстрируют особенности реологического поведения [4–8]. С точки зрения зависимости эффективной вязкости от скорости сдвига эти особенности сводятся к следующему. Приближение скорости сдвига к некоторому конечному по величине, критическому значению крутизна S кривой течения для зависимости касательного напряжения τ от начинает неограниченно возрастать. На модельном уровне можно полагать, что . Поскольку S напрямую характеризует вязкие свойства жидкости, такое поведение суспензий можно интерпретировать как проявление эффекта «упрочнения» или «отвердевания». Также отметим, что отдельные виды таких суспензий [4, 7, 8] демонстрируют немонотонный характер поведения функции . На начальном интервале изменения скорости сдвига от нуля до некоторого порогового значения функция монотонно убывает, и жидкость демонстрирует псевдопластическое поведение с некоторыми значениями коэффициента консистенции K1 и индекса течения n1. Дальнейшее же увеличение модуля скорости сдвига на интервале после прохождения точки минимума приводит к возрастанию эффективной вязкости. При этом жидкость соответственно демонстрирует дилатантное поведение.

В работе [1] предложена реологическая модель, описывающая механическое поведение подобных неньютоновских жидкостей, а в [2] для такой модели рассмотрена задача об установившемся напорном течении в цилиндрическом канале радиуса R. Там же показано, что в зависимости от величины перепада давления Δp на длине канала L возможны три различные схемы течения.

Если перепад давления не превышает некоторого порогового значения Δp1, т.е выполняется условие

(1)

то , и всюду внутри канала суспензия демонстрирует псевдопластическое поведение. Такая схема течения условно называется первой схемой течения.

Вторая схема течения имеет место в случае, когда выполняется условие

где τ2 – константа реологической модели суспензии, представляющая собой предельное значение касательного напряжения, достигаемого при . Для второй схемы течения характерным является то, что в канале можно выделить две зоны течения. В первой зоне жидкость по-прежнему демонстрирует псевдопластическое поведение, а во второй проявляет дилатантные свойства. Граница раздела между этими зонами представляет собой цилиндрическую поверхность некоторого радиуса Rμ1 < R. Естественно, что на этой границе должно выполняться условие . При этом первая зона в поперечном сечении канала занимает область в форме круга радиуса Rμ1, а вторая зона – кольцо Rμ1 < r < R .

Третья схема течения отличается от двух предыдущих тем, что в окрестности стенки канала формируется третья зона, заполненная материалом «отвердевшей» жидкости. Граница раздела второй и третьей зон представляет собой цилиндрическую поверхность некоторого радиуса Rμ2, который удовлетворяет условию Rμ1 < Rμ2 < R.

Рассмотрим задачу о конвективном теплопереносе в цилиндрическом канале неньютоновской жидкости рассматриваемого типа с учетом диссипации механической энергии для первой схемы течения в случае, когда выполняется условие (1). Будем предполагать, что на стенках канала для температуры выполняются граничные условия первого рода.

Введем цилиндрическую систему координат традиционным образом. Уравнение конвективного теплопереноса [3] в цилиндрическом канале с учетом диссипации в безразмерном виде может быть представлено в виде

(2)

Здесь и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины, полученные с учетом соотношений

где T = T(r, z) – температура жидкости в канале, представляющая собой неизвестную функцию радиальной r и продольной z координат; u = u(r) – распределение скорости в канале; um – средняя по сечению скорость; S1, S2 – параметры уравнения, определяемые через основные критерии подобия; p, τrz – давление и касательное напряжение соответственно; p0 – давление жидкости на выходе из канала; T**, T*, us, μs – некоторые характерные значения температуры среды в канале, а также скорости жидкости и динамической вязкости, принимаемые в качестве масштабных; B – параметр реологической модели; ρ, c, λ – принимаемые постоянными плотность, теплоемкость, теплопроводность среды соответственно; G, Pr, Ec, Re, La – геометрический критерий подобия, а также критерии подобия Прандтля, Эккерта, Рейнольдса и Лагранжа соответственно.

В уравнении (1) полагали, что учет конвективной составляющей теплопереноса допустимо проводить на основе средней по сечению канала скорости течения среды в канале, которая определяется следующим образом [2]

Запишем граничные условия задачи

r′ = 0; r′ = 1; z′ = 0;

(3)

где T0 – температура жидкости на входе в канал; Tw – принимаемая постоянной температура стенки канала.

Решая уравнение (1) с учетом (3), можно показать, что распределение температуры в канале определяется следующим образом

(4)

где J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; εj – корни характеристического уравнения J0(ε) = 0; Cj – коэффициенты разложения.

В (4) для краткости записи приняты следующие обозначения

(5)

Коэффициенты разложения Cj в (4) с учетом свойства ортогональности базисных функций определяются из выражений

j = 1, 2, ...,; и(6)

где J1 – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Для оценки влияния основных параметров модели на характеристики диссипативного разогрева жидкости при ее течении в цилиндрическом канале были проведены численные эксперименты на ЭВМ. В качестве примера на рис. 1 представлено распределение безразмерной температуры по радиальной координате в различных поперечных сечениях канала для следующего набора основных параметров системы: G = 0,01; Pr = 1,295∙106; Ec = 2,606∙10–6; Eu = 151,171; Re = 2,646; La1 = 605,04; ; B = 0,322; ; Из представленных на этом рисунке данных видно, что распределение температуры не является монотонным. При этом в окрестности стенки канала температурный профиль имеет экстремум типа максимума.

Рис. 1. Распределение безразмерной температуры по радиальной координате при La = 400 для z′ = 0,2 (1); 0,4 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,0 (5)

Влияние критерия подобия Лагранжа на распределение температуры в выходном сечении канала при том же наборе прочих исходных параметров системы представлено на рис. 2. Как и следовало ожидать, увеличение критерия подобия Лагранжа приводит для выходного сечения канала к возрастанию как температуры вообще, так и ее пикового значения в частности.

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры в выходном сечении канала (z′ = 1) при следующих значениях критерия подобия Лагранжа: La = 200 (1); 300 (2); 400 (3); 500 (4); 600 (5)

Полученные результаты могут быть использованы при моделировании течения неньютоновских жидкостей с соответствующими реологическими свойствами в проточных элементах технологического оборудования.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-08-00629.

Рецензенты:

Шашкин А.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Математический и прикладной анализ», ГОУ ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный университет», г. Воронеж;

Буховец А.Г., д.т.н., профессор кафедры «Прикладная математика и применение математических методов в экономике», ГОУ ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет им. императора Петра I», г. Воронеж.

Работа поступила в редакцию 01.08.2013.