Активация растворных и бетонных смесей, а также составляющих их компонентов является одним из действенных технологических приемов, позволяющих целенаправленно регулировать свойства изделий на их основе [1, 2].

Анализ теоретических исследований и моделирование процессов воздействия электромагнитного поля на природную воду затворения растворных и бетонных смесей на основе цементного вяжущего позволяют утверждать, что на определенном этапе процесса их структурообразования имеется возможность активно влиять на технологические, структурные и физико-технические свойства получаемого материала [3, 4].

В этой связи разработка математической модели процесса активации природной воды затворения с целью управления качеством композиционного материала является актуальной задачей современного материаловедения.

Получение воды затворения с заданными параметрами и обеспечение стабильных и высоких результатов ее активации возможно при применении высокоточных техники и технологий, связанных с распространением электромагнитных волн. Аппараты и устройства, направленные на генерацию электромагнитных волн, часто должны соответствовать множеству критериев под определенную для этих аппаратов задачу. В связи с этим решение начально-краевых задач для трехмерного волнового уравнения является актуальным.

Классическая постановка начальной задачи для трехмерного волнового уравнения в положительном полупространстве будет иметь вид

(1)

(2)

(3)

Используя отображение , где , можем получить постановку этой задачи в обобщенном смысле, в пространстве С.Л. Соболева. Рассмотрим выражение

Тогда

Интегрируя которое и используя формулу Гаусса – Остроградского по произвольной области D, будем иметь

(4)

Если область D – все положительное полупространство (t > 0) с кусочно-гладкой границей S: , а , то получим начальную задачу для трехмерного волнового уравнения в пространстве С.Л. Соболева.

(5)

Выполним постановку начальной задачи для волнового уравнения на основе интегральных законов сохранения.

Пусть γ и γ′ – две непересекающиеся гиперповерхности в положительном полупространстве .

Определим функцию φ следующим образом:

и функция φ гладким образом убывает от 1 до 0 вместе со своими производными от γ до γ′.

Рассмотрим левый интеграл из уравнения (5):

Учитывая свойства функции φ, этот интеграл будет иметь вид

Заменяя интегрирование по полосе от γ до γ′ интегрированием по нормали и касательным направлениям к гиперповерхности γ, получим

Ширину полосы γγ′ возьмем такой, чтобы можно было предположить, что

Так как nx = sx, ny = sy, nz = sz, nt = –st и sxds = dx, syds = dy, szds = dz, stds = dt, то получим

Таким образом, принимая во внимание правый интеграл из уравнения (5), получим обобщенную постановку начальной задачи для волнового уравнения на основе интегральных законов сохранения:

Реализуем явную разностную схему численного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Определим равномерную сетку с шагом h по пространственным переменным и с шагом τ по времени

где xi = ih, yj = jh, zk = kh, tn = nτ, i = 0, ±1, ±2, ... , j = 0, ±1, ±2, ... , k= 0, ±1, ±2, ... , n= 0, 1, 2, ...

Для начальной задачи волнового уравнения

(6)

(7)

(8)

построим явную многомерную разностную схему:

(9)

(10)

(11)

Из теории разностных схем известно, что невязка между точным решением задачи (6)–(7) и приближенным решением задачи (9)–(11) есть , а необходимое условие устойчивости разностной схемы (9)–(11) равняется .

Реализуем метод расщепления численного решения начально-краевой задачи для волнового уравнения.

При решении многомерных задач объем вычислений методом сеток существенно возрастает. Для его снижения Н.Н. Яненко [5] предложил эффективный метод расщепления, который наряду с устойчивостью обладает свойством минимальности объема вычислений. Решение задачи (6)–(7) сводится к решению трех вспомогательных задач. Построим схему метода расщепления для решения задачи (6)–(7). Введем дифференциальный оператор A, такой, что

Тогда уравнение (6) можно записать в виде

Оператор A является суммой трех операторов

Рассмотрим три вспомогательные одномерные задачи.

Задача 1:

(12)

с начальными условиями

(13)

(14)

(15)

Задача 2:

(16)

с начальными условиями

(17)

(18)

Задача 3:

(19)

с начальными условиями

(20)

(21)

Поставленные задачи могут быть решены последовательно: сначала задача 1, потом задача 2, а затем задача 3.

Установим связь между функциями v(x, y, z, tn+1), w(x, y, z, tn+1), f(x, y, z, tn+1) и решением u(x, y, z, tn+1) исходной задачи на (n + 1) слое.

Пользуясь формулой Тейлора, для функции v(x, y, z, tn+1) получим соотношение

(22)

(23)

где E – единичный оператор.

Для функций w(x, y, z, tn+1) и f(x, y, z, tn+1) можно получить аналогичные выражения:

(24)

(25)

Воспользуемся дифференциальным условием (21) для задачи 3:

Пользуясь формулой Тейлора, получим соотношение

Учитывая условие (20), получим

Аналогично

Рассмотрим выражение

С учетом х начальных данных для вспомогательных задачи 1, задачи 2 и задачи 3 получим

и так как

,

получим

(26)

Следовательно, можем положить, что

(27)

с соответствующей аппроксимационной оценкой.

Процесс решения исходной задачи с тремя пространственными переменными x, y, z заменен процессом решения трех задач с одной пространственной переменной в силу расщепления дифференциального оператора A на сумму трех операторов A1 + A2 + A3.

Очевидно, что метод расщепления не увеличивает погрешность по пространственным переменным x, y, z. Покажем, что и по времени t аппроксимационная оценка имеет тот же порядок, что и при прямом разностном методе.

Для каждой задачи (1, 2, 3) построим явные разностные схемы на той же сетке, что и для исходной многомерной задачи:

где xi = ih, yj = jh, zk = kh, tn = nτ, i = 0, ±1, ±2, ... , j = 0, ±1, ±2, ... , k= 0, ±1, ±2, ... , n= 0, 1, 2, ... .

Рассмотрим задачу 1.

Заменим производную vtt(xi, yj, zk, tn) её разностной аппроксимацией. Пользуясь формулой Тейлора, получим следующие соотношения:

(28)

(29)

Сложим (28) и (29) и выразим vtt(xi, yj, zk, tn).

(30)

(31)

Аналогично получим аппроксимацию для vxx(xi, yj, zk, tn).

(32)

(33)

Из (31) и (32) получим

(34)

Оценим внутреннюю невязку .

(35)

Пусть , тогда получим

(36)

Таким образом получаем, что разностная схема (34) аппроксимирует исходную задачу 1 со вторым порядком аппроксимации по τ.

Начальное условие задачи 1 можно представить в следующем виде:

(37)

Тогда разностная схема для задачи 1 будет иметь следующий вид:

(38)

Аналогично для вспомогательных задач 2 и 3 соответственно получим

(39)

(40)

Разностные схемы (38), (39) и (40) аппроксимируют соответствующие им задачи со вторым порядком аппроксимации по h и τ.

Для доказательства устойчивости каждой из разностных схем воспользуемся спектральным признаком Неймана.

Рассмотрим разностную схему (38) для задачи 1:

Определим начальное условие в виде трехмерной гармоники, зависящей от трех вещественных параметров α, β, γ:

(41)

Тогда решение задачи 1 при начальном условии (41) имеет вид

(42)

Функция является собственной функцией разностного оператора

(43)

λ(α, β, γ) – соответствующее собственное число разностного оператора.

Подставив это выражение в разностную схему, получим

(44)

Поделим полученное равенство на , получим

(45)

Обозначим и заметим, что

(46)

получим

(47)

(48)

Для выполнения условия устойчивости необходимо, чтобы спектр разностного оператора λ(α, β, γ) лежал в единичном круге, т.е. .

Произведение корней этого уравнения по теореме Виета равно единице. Если дискриминант

(49)

квадратного уравнения отрицателен, то корни λ1(α, β, γ) и λ2 (α, β, γ) комплексно-сопряженные и равны единице по модулю.

В случае r < 1 дискриминант остается отрицательным при всех α. В этом случае спектр заполняет часть единичной окружности.

В случае r = 1 спектр заполняет всю окружность.

При r > 1, по мере увеличения α от 0 до π, корни λ1(α, β, γ) и λ2(α, β, γ) двигаются из точки λ = 1 по единичной окружности: один по часовой, а другой против часовой стрелки соответственно и сходятся в точке λ = –1. Затем один из корней перемещается по вещественной оси из точки λ = –1 влево, а другой вправо, т.к. они вещественны и λ1∙λ2 = 1.

Условие устойчивости выполнено при r ≤ 1.

Проведя аналогичные подстановки и преобразования для разностных схем (45) и (46), соответствующих вспомогательным задачам 2 и 3, получим

 – для разностной схемы (45),

 – для разностной схемы (46).

По рассуждениям, аналогичным для (41)–(49), получаем, что условие устойчивости для разностных схем (39) и (40) выполняется также при r ≤ 1.

Камбург В.Г., д.т.н., профессор кафедры «Информационно-вычислительные системы», Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, г. Пенза;

Монастырев П.В., д.т.н., профессор, директор института архитектуры, строительства и транспорта, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов.

Работа поступила в редакцию 06.03.2015.