Метод группировки объектов системы на классы позволит определять подобные по своим составляющим объекты, входящие в сложную систему, которые относятся к определяемому классу [6].

Для определения всех объектов, которые подобны по своим характеристикам, заданным в рассматриваемой системе, возможно применение итеративного метода кластерного анализа.

Базовая информация (БИ) представима в виде следующего множества {P_i,j, A_i, Вj}, где – индекс объектов, т.е. носителей; – индекс всех характеристик выбранных рассматриваемых объектов; P_i,j – количественное значение j-й характеристики для i-го объекта; A_i – наименование i-го объекта; Вj – наименование j-й характеристики.

Для требуемых значений характеристик лицо, принимающее решение (ЛПР), определяет центр тяжести формируемого класса объектов .

Все элементы P_i,j разделим на группы – принадлежащие и не принадлежащие классу с точностью T_I.

Процесс разбиения информации на группы объектов представлен следующим образом:

0. Формирование исходного разбиения осуществляется на основе вспомогательной информации с использованием {r_i, d_i, a_i, k_i} размерностью :

r_i – смешанный момент корреляции Карла Пирсона или угловая мера

(1)

d_i – евклидово расстояние от заданного центра тяжести до P_i,j

(2)

a_i – индекс объекта в соответствии с P_i,j;

k_i – признак принадлежности i-го объекта к выбранному классу (0 – принадлежит, 1 – не принадлежит, изначально все k_i = 1).

1. При первичном разбиении на группы необходимо выполнить следующие два этапа.

1.1. Вначале:

– первоначально i = 1;

– определяется значение s, где s – среднее расстояние между всеми элементами – d_i

(3)

1.2. Рассчитывается расстояние между текущим элементом группы и следующим Δd = d_i – d_{(i + 1)}.

1.3. Проверка условия на принадлежность объекта к выбранному классу осуществляется в процессе выполнения следующих шагов:

Если Δd ≤ s, то k_{(i + 1)} = 0, i = i + 1 и:

– если i ≤ I, то переходим к пункту 1.2;

– если i > I, то осуществляется переход к пункту 1.4.

Если Δd > а, то i = i + 1 и переход к пункту 1.2.

1.4. Далее необходимо объединить классы на основе смешанного момента корреляции Карла Пирсона ri.

1.5. Вначале:

– элементы {r_i, k_i} распределяются по возрастанию элементов k_i и r_i соответственно;

– определяем i = 1.

1.6. Определяем пороговое значение α, на основании данного параметра определяется принадлежность i + объекта к рассматриваемому классу [2, 4]:

α = (r_i – r_{(i + 1)}).

Если α = 0, то i = i + 1 и α вычисляется заново.

Если α < 0, то и i = 1.

Если α > 0, то i = 1.

1.7. Проверка на выполнение условия, признака окончания всех объектов класса.

Если k_i = 0, то переход к пункту 1.8.

Если k_i = 1, то переход к пункту 1.10.

1.8. Определяется расстояние между текущим и следующим элементами:

Δr = r_i – r_{(i + 1)}.

1.9. Проверяется принадлежность i + 1 объекта к рассматриваемому классу:

Если Δr > α, то k_{(i + 1)} = 1, i = i + 1, и:

– если выполняется условие i ≤ I, то переходим к пункту 1.7;

– если выполняется условие i > I, то переход к пункту 1.10.

1.10. Второй этап завершен. В результате P_i,j разбиваются на две группы.

2. Вычисляются – центры тяжести полученных групп:

,

К = 2 – индекс полученных групп.

3. Проверяется, находится ли каждый объект в ближайшей группе.

3.1. Первоначально i = l, n = 0.

3.2. Вычисляется квадрат отклонения объекта α_i от центра тяжести групп:

(4)

где k = 2 – индекс полученных групп; – индекс характеристики, участвовавшей в формировании результата P_i,ja_i объекта.

3.3. Если достигается min(Frai) при k = k_i, то рассматриваемый объект – a_i находится в ближайшей группе и изменение класса не происходит.

Если достигается min(F_kai) при k ≠ k_i, тo объект – a_i соответственно не находится в ближайшей группе и поэтому k_i = k и n = n + 1 [5].

3.4. Увеличивается i = i + 1 и выполняется:

– если i > I, то закончился просмотр всех объектов и переход к пункту 4;

– если i ≤ I, то переход к пункту 3.2.

4. Если: требуемая точность не достигнута, то осуществляется возврат к пункту 2.

Если , то требуемая точность итеративного процесса достигнута. Получено окончательное разбиение P_i,j по классам.

При разбиении объектов управления на классы первоначальными данными являются:

– индекс объекта управления;

– индекс характеристики объекта управления;

P_i,j – количественное значение j-й характеристики i-го;

A_i – наименование i-го объекта;

Вj – наименование j-й характеристики;

Т_I – требуемая точность разбиения в процентах;

– центр тяжести интересующего класса объектов.

Результатом разбиения объектов на группы являются:

k_i = 0 – признак, что i-й объект принадлежит к выбранной группе;

a_i – индекс объекта в соответствии с P_i,j.

Оценка по выбору управляющих воздействий должна основываться на сравнении получаемых результатов за наблюдаемый промежуток времени с соответствующими значениями параметров из предыдущего периода, основной задачей которых является повышение эффективности сложной системы [3, 7]. Если итоговые значения принятых управляющих воздействий (УВ) не ухудшились, то УВ принимаются как эффективные и соответственно неэффективные в противном случае. Для сравнения результатов УВ обоих периодов необходимо вначале разбить их на близкие по своим значениям характеристик из группы и произвести оценку по групповым параметрам, что позволит уменьшить размерность решаемой задачи [1, 2].

Для выбора из всех объектов, совпадающих по значениям параметров групп объектов, используем методику группирования объектов сложной системы на соответствующие классы. Оценка эффективности выбранных УВ осуществляется следующим образом:

1. Формирование групп объектов по всем параметрам за предыдущий период.

Формируются первоначальные данные, необходимые для использования методики.

Из первичной информации, циркулирующей в сложной системе из множества {P_i,j, A_i, Вj}, выделяем информацию за предыдущий период:

P_i,j – количественное значение j-й характеристики i-го объекта;

– индекс объектов управления, носителей первичной информации;

– индекс характеристик;

A_i – идентификационные данные i-го объекта;

Вj – наименование j-й характеристики.

ЛПР определяет:

Т_I – требуемая точность разбиения в процентах;

K_Э – требуемое количество классов разбиения.

Получим следующие результаты:

К – количество полученных классов;

– центры тяжести полученных классов;

K_i – номер класса, к которому принадлежит i-й объект;

a_i – индекс объекта в соответствии с P_i,j.

2. Формирование групп объектов по значениям их характеристик за рассматриваемый период времени.

Формируются исходные данные, необходимые для использования методики [4, 6].

Из первичных данных выделяется информация за исследуемый период:

P_i,j – количественное значение j-й характеристики i-гo объекта;

– индекс объектов;

– индекс характеристик объектов.

A_i, Bj, T_I , K_Э – определены в пункте 1.

В результате работы данного алгоритма будут получены следующие характеристики:

К – количество полученных классов;

– центры тяжести полученных классов;

– номер класса, к которому принадлежит i-й объект;

– индекс объекта в соответствии с P_i,j;

3. Исследование двух полученных групп классов.

К – количество классов, полученных в пункте 1;

– центры тяжести данных классов;

k_i – номер класса, к которому принадлежит i-й объект;

a_i – индекс объекта P_i,j.

В пункте 2 получены:

К – количество полученных классов;

– центры тяжести полученных классов;

– номер класса, к которому принадлежит i-й объект;

– индекс объекта в соответствии с P_i,j.

3.1. Для сравнения полученных классов объектов преобразуются центры тяжести классов и , чтобы получить оценки сформированных групп классов независимыми от участвующих в анализе характеристик объектов следующим образом:

(5)

(6)

где W_j – коэффициенты значимости j-го параметра исследуемого управляющего объекта, которые определяет ЛПР; – индекс полученных классов; – индекс параметров, участвующих в анализе.

Полученные элементы (a_i, k_i) и упорядочиваются в соответствии с a_i и .

3.2. Первоначально S = 0, i = 0, п = 0.

3.3. Если и , тогда и n = n + 1;

3.4. i = i...1.

Если i < 1, то осуществляется переход к пункту 3.3.

Если i ≥ I, то переходим к пункту 3.5.

3.5. Э = S/n∙100.

3.6. Оценка эффективности принятых в исследуемый период УВ:

– если Э ≥ 0, то УВ принимались эффективные;

– иначе – неэффективные.

Рецензенты:

Филатов Г.Ф., д.ф.-м.н., профессор кафедры математики, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил, «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж;

Обуховский В.В., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж.