Расчёт элементов конструкций с использованием уравнений теории пластичности позволяет лучше использовать прочностные ресурсы материалов и конструкций, создавать экономически более выгодные изделия. Решение полной системы нелинейных уравнений теории пластичности в общем случае представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому при определении несущей способности конструкций часто используют так называемые статический и кинематический методы теории предельного равновесия, основоположником которых является А.А. Гвоздев [1]. В данной работе для решения рассматриваемых задач использован кинематический метод.

В работе [2] получены параметрические уравнения гиперповерхности прочности (пластичности) для слоистых гибридных композитных оболочек и пластин в пространстве обобщенных сил T_mi:

(1)

В случае кратковременного статического нагружения, например, эти уравнения принимают следующий вид:

(2)

Здесь и далее T_α ≡ T_αα, M_α ≡ M_αα , T₃ ≡ T₁₂, M₃ ≡ M₁₂, Q₃₁, Q₃₂ – обобщенные силы; – скорости соответствующих обобщенных перемещений; h_j – толщина j-го слоя; z_j – координата срединной поверхности j-го слоя (в системе α₁α₂z, ось z перпендикулярна поверхности приведения S₀ оболочки, рис. 1); z_1j < z_2j – координаты наружных поверхностей j-го слоя.

Определение несущей способности металлокерамической сферической оболочки выполняем с использованием варианта кинематического метода, описанного в работе [2].

В данном методе предполагается, что разрушение конструкции происходит вдоль отдельных бесконечно тонких слоев, перпендикулярных поверхности приведения S₀, а области между ними остаются «жесткими».

Уравнение баланса мощностей имеет следующий вид [2]:

(3)

Здесь l_k – длина k-й линии разрушения; m – число линий разрушения; S – площадь поверхности приведения сил; N – мощность внутренних обобщенных сил, приходящаяся на единицу длины линии разрушения; v_i – компоненты вектора скорости движения точки оболочки, где приложена сила p_i; μ – параметр, пропорционально которому растут внешние нагрузки. По повторяющемуся индексу i (i = 1, 2, 3) производится суммирование.

Предельную поверхность аппроксимируем выпуклым многогранником, i-ая вершина которого определяется вектором , k – число вершин аппроксимирующего многогранника. Здесь R_i, M_i – погонные силы и моменты, приложенные к сечению поверхности S₀.

На мощности погонных внутренних сил и моментов на концах линий разрушения O₁O₂ (рис. 1), развиваемые ими на разрывах скоростей соответствующих перемещений и поворотов, согласно постулату Друккера [2], можно наложить следующие ограничения [3]:

(4)

Здесь k₁, k₂ – количество вершин предельных многогранников, подходящих точкам О₁ и О₂ соответственно.

Рис. 1. Схема расположения линии разрушения O₁O₂ на границе абсолютно жёстких конечных элементов

Вдоль линий разрушения используем линейную аппроксимацию функции N. В итоге получаем следующую задачу линейного программирования: найти min m⁺, где

(5)

при условии

(6)

и при соблюдении ограничений вида (4). Здесь j – номер жесткого элемента; n₁ – число жестких элементов, на которые действуют нагрузки, зависящие от параметра m; n₂ – число жестких элементов, на которые действуют нагрузки, не зависящие от параметра m. Здесь внешние силы, действующие в пределах отдельного жесткого диска, приведены к его полюсу. Результатом этого являются сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты , приложенные к соответствующим полюсам.

Рассмотрим трёхслойную составную оболочку с относительно небольшой стрелой подъёма, где два наружных слоя стальные, внутренний слой – керамический.

Характеристики слоёв приведены в табл. 1.

С использованием уравнений (2) были построены некоторые сечения гиперповерхности прочности для трёхслойной оболочки (рис. 2, 3, 4). Алгоритм построения аналогичных сечений проведён, например, в [4].

На рис. 5 показана проекция металлокерамической сферической оболочки с радиусом 1,3 м и диаметром опорной окружности 1 м на плоскость XОY (рис. 1), нагруженной в точке 5 сосредоточенной силой, направляющие косинусы которой равны (0,5; 0,5; –0,7071); общая толщина оболочки – 22 мм; опирание – шарнирное по контуру. Здесь же показано разбиение на жёсткие элементы и линии разрушения между ними. Прочностные характеристики слоёв и их толщины приведены в табл. 1.

Таблица 1

Рис. 2. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью T₁₁–T₂₂, (МН/м)

Рис. 3. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью М₁₁–М₂₂, (МН∙м/м)

Рис. 4. Сечение гиперповерхности прочности плоскостью Q₁–Q₂, (МН/м)

Рис. 5. Схема абсолютно жёстких конечных элементов

Таблица 2

Рис. 6. Схема перемещений АЖКЭ

В результате решения соответствующей задачи линейного программирования получено значение μ⁺ = 6,9686 МН. В табл. 2 приведены соответствующие скорости перемещений полюсов жестких дисков v_x, v_y, v_z и их поворотов ω_x, ω_y, ω_z относительно полюсов.

На рис. 6 показаны линии разрушения, построенные с использованием табл. 2.

На рис. 7 приведена схема распределения N вдоль линий разрушения, построенная с использованием табл. 3.

Здесь N₁ и N₂ являются мощностями, развиваемыми на концах линий разрушения; они имеют размерность МН/с.

Рис. 7. Эпюры N

Таблица 3

В заключение отметим, что составленные нами соответствующие алгоритм и программа для ЭВМ позволяют достаточно эффективно решать задачи, аналогичные рассмотренной выше.

Рецензенты:

Астащенко В.И., д.т.н., профессор кафедры материалов, технологий и качества, Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», г. Набережные Челны;

Панкратов Д.Л., д.т.н., профессор кафедры машиностроения, Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», г. Набережные Челны.