Одним из современных направлений развития промышленных систем управления является применение интеллектуальных материалов в измерительных и исполнительных элементах. К таким материалам относятся ферромагнетики с памятью формы (ФМПФ), способные изменять геометрические размеры под воздействием электромагнитных и механических сил и запоминать состояние [2, 5, 7]. Это позволяет повысить точность преобразования одного вида энергии в другой, упростить конструкцию устройств, сократить количество составных частей, подверженных поломке и износу. Как следствие, повысить эффективность систем управления. Поэтому разработка теории, принципов построения и средств исследования устройств на основе ФМПФ является актуальной задачей.

Постановка задачи

Целью работы является создание математической модели минимальной размерности и вычислительного алгоритма на ее основе для расчета магнитных полей актуаторов на основе ФМПФ. Полученные результаты могут быть использованы как при проектировании актуаторов, так и в задачах диагностики при прогнозировании состояния объекта и при анализе неисправностей в реальном времени.

Общий вид двухтактного актуатора показан на рис. 1 [6]. В нем используется распределенная намагничивающая система, содержащая n пар катушек без ферромагнитных сердечников, что позволяет повысить быстродействие, уменьшить массу и габариты устройства.

Рис. 1. Общий вид актуатора с двумя активными элементами (1), намагничивающими катушками (2) и исполнительным механизмом (3)

Математическая модель

Построим математическую модель магнитного поля одной пары катушек, между которыми находится часть активного элемента из ФМПФ, размеры которого совпадают с размерами окон катушек (рис. 2). Такую модель достаточно просто адаптировать на случай n пар катушек.

Стационарное трехмерное магнитное поле задачи описывается системой уравнений

(1)

с граничными условиями на границе раздела сред: Здесь µ₀ – магнитная постоянная; – плотность тока в катушках; V⁺ – подобласть, занятая активным элементом (ферромагнетиком); V– – подобласть, окружающего элемент пространства, заполненная линейной средой с µ₀; –магнитная индукция и напряженность магнитного поля соответственно; – нормальные составляющие магнитной индукции; – тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на границе раздела сред V⁺ и V^–.

Для уменьшения размерности задачи будем далее использовать скалярный магнитный потенциал и фиктивные магнитные заряды. Это позволит применить для расчетов параметров поля в V^– бессеточный численный метод фундаментальных решений (МФР).

Рис. 2. Сечение исследуемой системы плоскостью y0z

Представим в V^– напряженность магнитного поля в виде суммы двух полей [3]:

(2)

где – напряженность магнитного поля, созданного токами катушек во всем пространстве V (V = V⁺ + V^–) при удалении из V+ ферромагнетика; – напряженность магнитного поля в V^–, созданного намагниченностью ферромагнетика при отсутствии тока в катушках.

При использовании разложения (2) в V⁺ результирующее поле будет определяться как разность близких величин, что приведет к большим погрешностям. Поэтому, в отличие от [5], в V⁺ будем определять результирующее поле .

Исходную систему уравнений (1) после введения магнитного потенциала j заменим тремя системами:

в V; (I)

в V–; (II)

B = B(H) в V⁺. (III)

Решение системы (I) заменим вычислением путем интегрирования по объемам катушек V_c (V_c = V_c1 + V_c2), используя формулу, полученную из закона Био – Савара – Лапласа [4]

(3)

где iw_c – магнитодвижущая сила, создаваемая током i в катушке с числом витков w_c; S_c – площадь сечения катушки; – единичный вектор, направленный из точки N к точке M.

Решение системы (II) в V^– выполним МФР, располагая в V+ фиктивные магнитные заряды.

Решение системы (III) в V⁺ с нелинейной средой из ФМПФ выполним методом конечных элементов (МКЭ).

Начало декартовой системы координат поместим в геометрическом центре активного элемента (рис. 2). Учитывая симметрию магнитной системы относительно плоскости x0y, будем решать задачу в области z ≥ 0. Принимаем, что на плоскости x0y все потенциалы равны нулю. На боковых гранях параллелепипеда активного элемента положим . На грани, лежащей в плоскости x0y, φ⁺ = 0. На верхней грани S_h имеем следующие соотношения, вытекающие из исходных граничных условий (1),

(4)

где

точка Mi ∈ Sh; i = 1, 2, ..., N; N – число точек коллокации на Sh.

Вычислительный алгоритм задачи

Считаем известными геометрические размеры активного элемента: ширину A_e и длину B_e (размеры по осям 0_x и 0_y); толщину H_e (размер по оси 0z), геометрические размеры катушки (ширину A_c, длину B_c, толщину H_c, толщину намотки провода C_c) и магнитодвижущую силу iw_c, создаваемую токами в катушках.

На верхней грани активного элемента разместим точки коллокации M_i (i = 1, 2, ..., N). Точки коллокации M_i имеют одинаковую z-координату . Фиктивные магнитные заряды (количество их 2N) разместим в точках, x-координаты и y-координаты которых совпадают с соответствующими координатами точек коллокации M_i, причем , что следует из равенства нулю потенциалов всех точек плоскости x0y.

На рис. 3 показано положение точек коллокации M, при их числе N = 5, и фиктивных магнитных зарядов q, число зарядов 2N. Размеры a = b = 2∙10^–3 м.

а

б

Рис. 3. Верхняя грань активного элемента S_h с точками коллокаций M(a) и расположением фиктивных магнитных зарядов q(b)

Аппликаты всех зарядов равны h для q_i и –h для . Принимаем h = He/20.

Потенциал в точке коллокации Mi определим по формуле [1]

(5)

где

(x_i, y_i, z_i) – координаты точки коллокации M_i; (x_j, y_j, z_j) – координаты точки, в которой находится заряд q_j; – координаты точки, в которой находится заряд .

Z-составляющую напряженности магнитного поля в точке Mi, созданного зарядами, будем определять на основании (5) по формуле

(6)

где z_j = h;

Система (4) с учетом соотношения (5) и (6) принимает следующий вид:

(7)

Величина системы (7) определяется по формуле (3), находиться из соотношения

(8)

Таким образом, система (7), состоящая из 2N уравнений, содержит 3N неизвестных . Дополнительно N уравнений, связывающих φ+(Mi) и , получим, решая систему (III) МКЭ.

Алгоритм решения исходной задачи состоит из следующих этапов:

1. Выбираем расположения N точек коллокаций. Формируем массивы координат точек коллокации и точек, в которых расположены фиктивные магнитные заряды. Например, для точки Mi имеем M_i(x_i, y_i, H/2), q_i(x_i, y_i, h), .

2. Вычисляем по формулам (3) и (8) в точках коллокации значения и , i = 1, 2, ..., N.

3. Учитывая, что и , полагаем φ+(M_i) = 0 и, решая первые N уравнений системы (7), найдем q_i j = 1, 2, ..., N.

4. Решая вторые N уравнений системы (7), находим i = 1, 2, ..., N.

5. Решая краевую задачу МКЭ – систему (III) с граничными условиями: на S_h значения , где M ∈ S_h, в узлах конечной элементной сетки, которые определяются по второй формуле системы (7); на грани V+, лежащей в плоскости x0y, полагаем φ⁺ = 0, на боковых гранях .

6. В тех случаях, когда магнитная проницаемость среды V⁺ зависит от H⁺, производится уточнение значений m и H⁺ с использованием зависимости B(H) ФМПФ.

7. Определив φ⁺(Mⁱ), можно уточнить значения зарядов q_i, решая систему (7).

Результаты экспериментальных исследований

Выберем для исследования систему (рис. 2), имеющую следующие параметры:

A_e = B_e = A_c = B_c = 2∙10^–3 м; He = 1∙10^–3 м;

H_c = 2∙10^–3 м; Cc = 0,5∙10^–3 м.

Для оценки погрешности моделирования комбинированным методом (МФР и МКЭ) решим задачу МКЭ, при этом катушки и активный элемент поместим в центре параллелепипеда со сторонами 0,5×0,25×0,25 м, который заполним 87434 тетраэдрами. На гранях параллелепипеда задаем векторный магнитный потенциал . На первом этапе расчетов определяем при iw_c = 10³. А каждой катушки значения в точках коллокации M_i, а также в ряде точек на отрезке [0, zi], где z_i = H_e/2. Далее численным интегрированием вычисляем с использованием соотношения (8). Затем определяем величины и φ⁺ в точках коллокаций.

Перейдем к решению задачи комбинированным методом (МФР и МКЭ).

Вариант I. Выбираем N = 5 точек коллокаций (рис. 3). В силу симметрии их положения имеем q₁ = q₂ = q₃ = q₄. Таким образом, в этом варианте имеем два неизвестных заряда q₀ и q₁, а также , , и .

Величины и в точках коллокации M₀ и M₁ определяем по формулам (3), (8). В результате имеем систему уравнений

Полагая φ⁺(M₀) = φ⁺(M₁) = 0, найдем q₀ и q₁. Далее определяем H⁺(M₀) и H⁺(M₁) при начальном значении μ⁽⁰⁾ = 10³μ₀. В случае μ(H⁺) решаем краевую задачу в V⁺ МКЭ, уточняя φ⁺, q₀, q₁. Результаты сведем в табл. 1.

Среднеквадратичное отклонение (RMSD) вычисляем по формуле

Таблица 1

Результаты расчетов при N = 5

Относительное RMSD для N = 5 составило 53,3 %.

Вариант II. Разместим N = 13 точек коллокаций (рис. 4) на S_h. В силу симметрии положения точек имеем четыре неизвестных заряда q₀, q₁, q₂, q₃, а также неизвестные и φ⁺(M_i), i = 0, 1, 2, 3.

Система уравнений составляется так же, как в варианте I. Результаты сведены в табл. 2. Относительное RMSD для N = 13 составило 9,1 %.

Замечание. Результаты, приведенные в табл. 1, 2, получены при μ = 10³μ₀.

Рис. 4. Расположение точек коллокации N = 13

Таблица 2

Результаты расчетов при N = 13

Выводы

Предложена математическая модель минимальной размерности и алгоритм для расчета магнитного поля актуатора на основе ФМПФ. Модель и алгоритм основаны на разложении магнитного поля в линейной среде, окружающей устройство, на два поля: – напряженность магнитного поля, созданная токами катушек при отсутствии активного элемента из ФМПФ и поля , создаваемого намагниченностью ФМПФ при отсутствии катушек с током. Для определения магнитного поля в окружающем пространстве и активном элементе используются МФР и МКЭ соответственно. При этом магнитное поле вычисляется по формуле, вытекающей из закона Био – Савара – Лапласа.

Достаточная для инженерных задач точность расчета параметров магнитного поля может быть получена при относительно небольшом числе фиктивных магнитных зарядов, что характерно для МФР [1]. Так при 26 зарядах погрешность расчета не превышает 9 %. Как следует из рис. 3, дальнейшее увеличение зарядов приведет к уменьшению погрешности. При 34 зарядах следует ожидать менее 5 %.

При учете симметрии магнитной системы размерность задачи существенно сокращается: при 10 зарядах число неизвестных равно двум (q₀, q₁), при 18 зарядах – трем (q₀, q₁, q₂), при 26 зарядах – 4 (q₀, q₁, q₂, q₃). Это позволяет реализовать «быструю» компьютерную программу для расчета магнитных полей актуаторов на основе ФМПФ, что важно в задачах диагностики при прогнозировании состояния объекта и при анализе неисправностей в реальном времени.

Результаты работы получены при поддержке гранта РФФИ № 14-08-01288 «Разработка теории натурно-модельных испытаний измерительных и исполнительных систем, построенных на основе ферромагнитных материалов с эффектом памяти формы».

Рецензенты:

Савелов Н.С., д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматика и телемеханика», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова», г. Новочеркасск;

Седов А.В., д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматика и телемеханика», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова», г. Новочеркасск.