Постановка начально-краевой задачи и разностная схема

Развитию вычислительных методов решения задач фильтрации многофазных жидкостей посвящены работы [3, 15], в том числе параллельному численному решению данного класса задач – публикации [7]. В случае плоско-параллельного характера фильтрации в пластах сравнительно небольшой мощности, уравнения, описывающие фильтрацию двухфазной несжимаемой жидкости в отсутствие капиллярных и гравитационных сил и при наличии источников и стоков, имеют вид [7]

(1)

(2)

где s = s(x, y) – водонасыщенность; p = s(x, y, t) – давление; f1(s), f2(s) – относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; H – мощность пласта; m –пористость пласта; ?1, ?2 – вязкость нефти и воды соответственно; k(x, y) – проницаемость пласта; ?(s) – так называемая функция Баклея – Леверетта

(3)

с помощью которой может быть определена доля фазы воды в суммарном потоке. Функции q1 и q2, моделирующие работу скважин будут приведены при описании разностной схемы. Здесь мы отметим следующее: на эксплуатационных скважинах отбор фаз происходит пропорционально их подвижностям, а на нагнетательных – поток нефти равен нулю. Будем считать, что на скважинах задаются либо дебиты, либо забойные давления. В качестве функциональных зависимостей для задания f1(s), i = 1, 2 будем использовать полиномы третьего порядка

(4)

а также

(5)

где  – постоянные – так называемые предельные значения водонасыщенности, например ai, bi i = 0, 1, 2, 3 – постоянные коэффициенты. Разностная схема для данной задачи получена интегроинтерполяционным методом [13].

Усовершенствованный алгоритм модифицированного попеременно-треугольного метода

В настоящей статье рассматривается параллельное численное решение системы разностных уравнений усовершенствованным модифицированным попеременно-треугольным методом, имеющим высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [1, 2, 5, 11, 12].

Решение системы (1), (2) сводится к решению задачи, которую можно представить в операторном виде:

x ? ?;

x ? ?;

Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [4, 6, 10, 14]:

где

Параллельная реализация попеременно-треугольного метода и результаты численных экспериментов

Для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости использован адаптивный МПТМ минимальных поправок. При параллельной реализации использованы методы декомпозиции сеточных областей для вычислительно трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы ЮФУ, в г. Таганроге. Пиковая производительность МВС составляет 18.8 TFlops. В качестве вычислительных узлов используется 128 однотипных 16-ядерных Blade-серверов HP ProLiant BL685c, каждый из которых оснащен четырьмя 4-ядерными процессорами AMD Opteron 8356 2.3 GHz и оперативной памятью в объеме 32ГБ.

Для параллельной реализации усовершенствованного МПТМ использованы методы декомпозиции области по одному направлению [8, 9]. Результаты использования многопроцессорных технологий для расчета полей течений приведены в таблице.

Получены теоретические оценки ускорения и эффективности параллельного алгоритма, зависящие от времени выполнения арифметической операции, времени передачи данных и латентности, согласующиеся с приведенными выше экспериментальными данными (таблица).

На рис. 1–4 представлены результаты численного моделирования фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. На рис. 1–2 приведена функция, описывающая распределение давления в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

Рис. 1. Функция распределения давления в начальный момент времени

Рис. 2. Функция распределения давления через 750 суток

На рис. 3–4 приведена функция, описывающая распределение функции водонасыщенности в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

Рис. 3. Функция распределения водонасыщенности в начальный момент времени

Рис. 4. Функция распределения водонасыщенности через 750 суток

Заключение

В статье для численного решения модельной задачи фильтрации двухфазной жидкости, описывающей процесс вытеснения нефти водой, для вычисления функции давления в пласте построен усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, учитывающий специфику сеточных аппроксимаций задач такого типа – наличие функции источников, имеющей значительные величины в относительно небольшом числе узлов сетки, совпадающих с местоположением скважин. Построена и протестирована параллельная версия данного алгоритма на многопроцессорной системе ЮФУ в г. Таганроге, имеющая приемлемые показатели ускорения и эффективности для числа ядер при их изменении в диапазоне 4–256. Данный метод может найти применение при решении реальных задач проектирования разработок нефтяных месторождений в научно-исследовательских, проектных и технологических организациях нефтегазового профиля, эксплуатирующих относительно недорогие параллельные многоядерные системы с числом ядер до нескольких сотен.

Работа выполнена при частичной поддержке проектов Программы № 43 фундаментальных исследований Президиума РАН по стратегическим направлениям развития науки «Фундаментальные проблемы математического моде лирования».