Необходимость применения логистики и логистических моделей в управлении розничными предприятиями уже давно ни у кого не вызывает сомнений и обуславливается непрерывным стремлением любого руководства предприятия увеличить прибыль, снизить усложнением системы рыночных отношений.

Рис. 1. Логистика и связанные с ней области науки

В рамках концепции минимизации издержек перед службами логистики стоит задача снижения затрат на операции хранения и транспортировки. В результате возникает целый комплекс математических задач, решение которых позволяет создать интегрированную логистическую систему розничного предприятия [6].

Рассмотрим бизнес-процесс, связанный с товародвижением в рамках розничного предприятия. В списке ниже представлена последовательность операций над товаром, которая обеспечивает его попадание от поставщика до полки магазина.

1. Формируется заказ на покупку (исходя из предположений о спросе).

2. Товар приходит на склад.

3. Товар принимается и оприходуется на склад.

4. Товар сортируется и помещается в ячейки хранения.

5. Товар поступает в сборку заказа на продажу.

6. Готовый заказ помещается в транспортное средство (ТС).

7. ТС отправляется в рейс.

8. Заказ доставляется покупателю.

Разберем подробно те математические задачи, которые формируются в процессе логистической деятельности розничного предприятия и её последующей оптимизации.

Определение спроса на товар

Современные концепции логистики подразумевают, что вопрос определения величины спроса на товар находится в ведении именно логистических служб предприятия, следовательно, и прогнозирование спроса можно отнести к задачам логистики [8].

Пусть розничная сеть продает n товаров. В распоряжении аналитиков имеются данные об объемах запасов товара i в период времени t – . Необходимо построить прогноз спроса на следующие 2–6 месяцев. Величина спроса на i-ый товар в период времени t естественно отличается от объема запасов . можно найти следующим образом [4]:

, (1)

где – объем заказа i-го товара в периоде времени t – 1. Исходя из того, что заказ на доставку товара в периоде t делается в предыдущем периоде – (t – 1)). представляет собой разность уровней временного ряда, значение которых в общем виде имеет вид

, (2)

где T – трендовая компонента, W – сезонная компонента, C – циклическая компонента, ε – случайное отклонение [5]. Однако спрогнозированное значение будет точным при условии неизменности количества точек сбыта. Если учесть в рассматриваемой задаче следующие параметры:

– K – количество точек сбыта в период времени t;

– – плотность населения в прилегающей к точке сбыта зоне – l метров;

– – часы работы точки сбыта k в период t;

– и др.,

то получится следующий прогноз спроса для предприятия розничной торговой сети:

, (3)

где Kt и Kt–1 – количество точек сбыта в момент времени t и t – 1. и – средняя плотность населения в обслуживаемых точками продаж областях.

Задача оптимального запаса

Как известно, вместимость склада величина постоянная, а количество хранимых запасов на нем – величина переменная. Разумеется, данное утверждение справедливо с определенной долей условности. Так, например, предполагается, что площадь склада нельзя увеличить, либо это нецелесообразно, либо принимается в виде условности с целью упрощения модели.

Запасы на складе могут теоретически колебаться от 0 до полной загрузки V, однако на предприятиях для каждого склада, как правило, устанавливается «страховой запас» – Kстр.

Очевидно, объем запасов зависит от:

- Потоков груза на склад (OF);

- Потоков грузов со склада (D).

, (4)

где – объемы запасов товара i на складе в периодах времени t и t + 1. – фактическое количество товара i, пришедшее от поставщика в период t + 1. – Поток грузов со склада на магазины (принимается равным спросу ввиду наличия страхового запаса) [6].

Фактический объем товара i, приходящего в период времени t – является величиной стохастической и зависит от объема заказа следующим образом:

(5)

Страховой запас, представленный в формуле 6, должен быть не меньше разности между максимальной величиной спроса и минимальным объемом заказа:

, (6)

t – срок хранения грузов на складе

T – время работы склада (сутки / год)

h – оборачиваемость грузов на складе (ед./год)

V – вместимость склада,

. (7)

Задача оптимального размера заказа

Кроме определения вопроса оптимального размера запаса, не менее актуальна задача определения размера заказа и частоты его осуществления. Собственно, перед менеджером по закупкам стоит задача определения этих двух величин.

На этот вопрос можно получить ответ решая задачу поиска экономического размера заказа Economic Order Quantity – EOQ [2]. В традиционной модели общий объем годовых затрат Cr равен

(8)

Для максимизации q берется производная

(9)

В результате решения получим формулу Харриса – Уилсона.

(10)

где C0 – накладные расходы на каждую поставку;

D – годовое потребление продукции;

Ch – затраты на хранение единицы продукции в год.

С учетом поправок на неопределенность и процессы естественной убыли [1]:

(11)

При этом оптимальный размер заказа находится по формуле 12 и равен

(12)

В то же время при условии наличия статистических данных с точки зрения спроса задачу нельзя классифицировать как задачу в условиях неопределенности. И, подставляя прогнозное значение величины спроса в условие задачи, получим следующее выражение для оптимального объема заказа, представленное в формуле:

(13)

Периодичность заказа при этом исходя из классической задачи определяется остатками товара на складах [3].

Кроме поправок на неопределенность и процессы естественной убыли менеджер, принимающий решение о необходимости формирования нового заказа и его объеме, может учитывать временную ценность денег. Это в свою очередь позволяет принимать во внимание специфику денежных потоков в цепи поставок предприятия и оптимизировать данный сегмент логистической деятельности с учетом обозначенного фактора.

С учетом приведения денежных потоков к одному моменту времени, а также используя формулу начисления простых процентов задача максимизации интенсивности потока доходов приводится к следующему виду:

(14)

где Cп – стоимость единицы товара (у.е.);

r – годовая процентная ставка, характеризующая преобразование оборотного капитала в прибыль для соответствующей цепи поставок;

dп – дисконтирующий множитель, который равен

. (15)

Рп – прибыль от реализации единицы товара (у.е.);

Т – период времени между поставками, который связан с показателем объема заказа (T = q / D) и является оптимизируемой величиной.

Таким образом оптимальный заказ и оптимальное значение интервала времени для следующего заказа найдется по формулам

(16)

и

(17)

Задача формирования плана перевозок от группы поставщиков группе покупателей

Поставщиками применительно к предприятию розничной торговой сети являются склады предприятия, а потребителями – магазины.

Критерий транспортной задачи:

, (18)

, (19)

где , а .

Ограничения

. (20)

Кроме того, при решении классической задачи о назначениях накладывается условие, что одну перевозку может совершать одно транспортное средство (применительно к рассматриваемой задаче). Эти условия имеют вид

На рис. 2 представлен обзор методов решения задачи маршрутизации или задачи о назначениях [7].

Рис. 2. Методы решения задачи маршрутизации или задачи о назначениях

Классические методы решения задачи оптимизации плана развозки накладывают ограничения, которые не позволяют решать практические задачи. Количество складов, используемых транспортных средств и точек доставки в большинстве случаев не совпадает. Кроме того, не все транспортные средства может понадобиться использовать, равно как и доставка может осуществляться не во все магазины.

Задачу составления оптимального плана доставки следует решать в следующем порядке:

- Задача размещения подготовленных заказов в транспортных средствах. Ограничениями в данной задаче являются тоннажность ТС и их палето-вместимость.

- Задачу закрепления ТС за точками доставки.

Актуальная проблема состоит в том, как решить эти две задачи одновременно с учетом того, что результат одной зависит от решения, другой и наоборот.

Если же данную задачу решить не удастся, то следует прибегнуть к методам, представленным на рис. 2, обеспечивающим приближенные решения.