Задачи линейного программирования транспортного типа широко распространены в практических исследованиях оптимизации различных экономических задач [1]. Однако существующие методы их решения нетривиальны и требуют специальной теоретической подготовки [1–3], как и вообще при решении любых других задач линейного программирования. В настоящее время существуют компьютерные программы, позволяющие решать подобные задачи с любым количеством переменных. Но для правильного использования этих программ и анализа найденного решения необходимо освоить хотя бы простейшие методы решения задач с малым числом переменных.

Авторам удалось построить простой универсальный метод решения задач линейного программирования с помощью исключения переменных в системе линейных неравенств, используя таблицы Гаусса [4, 5]. Данная работа демонстрирует применение этого метода к решению транспортных задач.

Решение транспортной задачи с правильным балансом

Пусть исходная таблица имеет вид:

где xij – объёмы перевозок от i-го поставщика к j-му потребителю, ai – запасы поставщиков, bj – запросы потребителей. Числа рядом с xij указывают стоимость cij перевозки единицы груза. Переменные xij должны удовлетворять следующим ограничениям:

(1)

Приведём систему (1) к разрешённому виду, используя таблицы Жордана-Гаусса [2, 3].

В итоге решение системы (1) имеет вид:

(2)

Целевая функция является суммой затрат на перевозку всех грузов и должна быть минимальна:

С учётом (2):

(3)

Как показано в [4], система неравенств, обеспечивающая Zmin, объединяет (2), (3) и выглядит следующим образом:

(4)

Исключаем переменные в системе (4) с помощью таблиц Гаусса, как в [4]:

Заметим, что в табл. 2 вычеркнуты автоматически выполняющиеся неравенства-следствия, например

Таблица 1