Проведем динамический анализ бруса батана и рапирного механизма металлоткацких станков типа СТР с учетом упругости элементов их привода. Используя методику упрощений, рассмотренную в [1], динамическую модель упругой системы батанного и рапирного механизмов приведем к виду, представленному на рис. 1. Динамическая модель содержит четыре взаимосвязанных контура: I и II – контуры главного и промежуточного валов соответственно (рассматриваем как крутильно-колеблющиеся системы с конечным числом степеней свободы); III – контур бруса батана (рассматриваем как изгибно-колеблющуюся систему с распределенными параметрами); IV – контур рапирного механизма (рассматриваем как крутильно-колеблющуюся систему с конечным числом степеней свободы). Первый, второй и четвертый контуры связаны между собой кулачковой передачей, а второй и третий – рычажной.

На рис. 1 введены следующие обозначения: Ii,j – моменты инерции масс дисков, характеризующие инерционные свойства механизмов; Yб(x, t) – абсолютные перемещения сечений бруса батана; φ_i,j – абсолютные угловые перемещения дисков (i – номер контура, j – номер диска); EIб – изгибная жесткость бруса; μ_б – погонная масса бруса; Сi,j – коэффициенты жесткости упругих элементов механизмов; mб – приведенная масса лопасти батана и подбатанного вала; kп – коэффициент, учитывающий упругое сопротивление системы заправки нитей основы на фазе формирования сетки (коэффициент постели); ω – угловая скорость вращения главного вала (в расчетах принимается постоянной величиной); П12, П23 – функции перемещения кулачкового и рычажного механизмов соответственно – П₁₂ = φ₂₂(φ₁₃) = φ_2n–1(φ_1n–1), П23 = Yб(φ₂₁) = = Yб(φ₂₂) = Yб(φ_2n–1) = Yб(φ_2n); П14 – переда-точная функция, учитывающая линейную жесткость (Cx) и линейное сопротивление (β_к) клиноременной передачи привода – П₁₄ = φ₄₁(φ₁₁), (клиноременная передача привода на рис. 1 не показана). При решении подобных технических задач для упрощения математической модели, используя рекомендации [2], будем считать, что деформируемые элементы батанного и рапирного механизмов являются идеально упругими, то есть они не характеризуются диссипативными свойствами. Тогда движение упругой системы этих механизмов можно представить в виде следующих дифференциальных уравнений:

контур 1 (главный вал)

(1)

контур 2 (промежуточный вал)

(2)

контур 4 (рапирный механизм – считаем, что все звенья рапирного механизма являются абсолютно жесткими и учитываем податливость только клиноременной передачи привода)

. (3)

В уравнениях (1)…(3) приняты следующие обозначения: M12, M13,…, M1n–1, M1n – моменты сопротивления, оказывающие воздействие на главный вал станка со стороны промежуточного вала; M1n – момент сил сопротивления, действующий со стороны механизмов зевообразования, набора товара, отпуска основы; M21, M22,…, M2n–1, M2n – моменты сопротивления, действующие со стороны батана на промежуточный вал [3]; – периоды времени, соответствующие фазам подхода берда к опушке сетки и отходу от нее; – обобщенные функции Хевисайда (единичные функции) [4]; Md – движущий момент на валу двигателя; Mc – момент сопротивления со стороны рапирного механизма, приведенный к валу двигателя.

Системы уравнений (1) и (2) должны соответствовать граничным условиям в краевых сечениях бруса батана и условиям сопряжения участков бруса. Рассмотрим граничные условия и условия сопряжения участков для бруса батана с тремя лопастями, применяемого на металлоткацком станке СТР-130-М, рис. 2.

(4)

Рис. 1. Динамическая модель кулачково-рычажных батанного и рапирного механизмов при учете упругости элементов привода

Рис. 2. Динамическая модель трехлопастного кулачково-рычажного батанного механизма при учете упругости элементов привода

В системе (4) обозначено: Cк – приведенная к изгибной крутильная жесткость лопастей батана с учетом жесткости подбатанного вала и его опор; P – усилия, возникающие со стороны привода на сечения бруса батана (характеризуются деформационными параметрами шарнирных соединений рычажной части привода батана).

(5)

Тогда

,

,

.

Используя относительные координаты, получим

i – номер контура; j = 1,…, n – номер контура;

;

(6)

В первой части системы (6) второе и третье слагаемые описывают переносное движение сечений бруса батана. Они учитывают не только кинематическое перемещение бруса, но и перемещение сечений бруса вследствие деформаций звеньев системы привода. В соответствии с рекомендациями [5], функции перемещения П и передаточные функции П' и П" можно аппроксимировать путем разложения их в ряд Тейлора, учитывая только два первых члена ряда

(7)

где – функции от кинематических значений параметра φ_ij; r – 0, 1, 2 – порядок производной.

Учитывая выражения (5), (6), (7) и пренебрегая в функциях возмущения малыми членами (второго порядка малости), системы уравнений (1) и (2) представим следующим образом:

для контуров I и II (главный и промежуточный валы)

(8)

для контура III (бруса батана)

(9)

для условий сопряжения участков

(10)

Выражения (8)…(10) являются системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для решения данной системы воспользуемся методом условного осциллятора [5].

Проанализируем систему однородных уравнений, состоящую из уравнений (8) и (10) с правыми частями равными нулю. Считаем, что частное решение данной системы будет иметь вид аналогичный решению системы с постоянными коэффициентами:

(11)

Учитывая выражение (9), уравнение форм изгибных колебаний бруса батана будет иметь следующий вид:

(12)

Далее в рассматриваемую нами систему однородных уравнений подставляем уравнения (11) и (12), т.е. получаем систему алгебраических уравнений в отношении неизвестных амплитуд – Ai, Aj. Затем определитель, составленный из коэффициентов полученной системы, приравняем к нулю, таким образом, получим формальное частное уравнение, из которого определяются зависимости pn(t) корней этого уравнения от времени.

В работе [5] показано, что если соблюдается требование

, (13)

то рассматриваемую нами систему можно причислить к системам с медленно изменяющимися параметрами. Тогда, применяя метод условного осциллятора [5], запишем решение однородной системы уравнений в следующем виде:

(15)

где τ = εt – медленное время; ε – малый параметр. К тому же один из амплитудных коэффициентов для каждой формы, для примера A1n считают равным .

Коэффициенты можно найти, если решение (15) с учетом (12) подставить в систему однородных уравнений, полученную из выражений (8) и (10). Так как A1n(t) и pn(t) известны, то имеющаяся система позволит рассчитать оставшиеся коэффициенты форм упругих колебаний исследуемой динамической модели. Для решения систем уравнений вынужденных колебаний (8) и (9) воспользуемся способом разложения подлежащих нахождению функций в ряд по собственным формам

, (16)

. (17)

Обозначим W(x, t) – правую часть первого уравнения системы (9). После преобразований, учитывая выражение (7), имеем

(18)

Возмущающую функцию П23(ωt) разложим в ряд по собственным формам колебаний бруса . Из условия ортогональности нормальных форм получим , то есть, опуская аргументы в правой части,

. (19)

Соответственно будем иметь

. (20)

Принимая во внимание уравнение (12) и что и подставляя в первое уравнение системы (9) значения (17), (19) и (20) функций П₂₃(ωt) и Y(x1, t), для вычисления неизвестных функций T_n(t) получим выражение

(21)

Двукратным дифференцированием соответствующих слагаемых правой части уравнение (21) можно представить в виде

. (22)

Выполним в уравнении (22) замену переменных:

. (23)

Проведем подстановку уравнения (23) в (22), после деления на , имеем

(24)

где

Представим общее решение уравнения (24) как результат сложения общего решения однородного уравнения

(25)

и частного уравнения (24), а именно:

(26)

где z1n, z2n – линейно независимые решения уравнения (25); – частотное решение уравнения (24); C1n, C2n – произвольные постоянные, удовлетворяющие начальным условиям.

Решения уравнения (25) имеют вид

, .

Частотное уравнение – можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных. Получим

,

где

Решение выражения (26) найдено, значит, найдены и решения уравнений (23) и (25). В соответствии с четвертым уравнением системы (8) имеем .

Для рассмотрения учета воздействия технологического сопротивления M4 на колебательный процесс бруса батана функцию необходимо подставить в выражение (18), при этом адекватным образом изменится правая часть уравнения (21).

Выводы

Предложена математическая модель решения задачи о вынужденных колебаниях упругой системы батанного и рапирного механизмов металлоткацких станков типа СТР, которая применима к нестационарным условиям работы станка (разгон, установившийся режим с учетом неравномерности вращения главного вала, останов). Данная модель позволит повысить качество анализа влияния колебательных процессов в приводе станка на изгибно-крутильные колебания бруса батана и оценить технологические и конструктивные параметры модернизируемых или проектируемых механизмов.