В современных численных методах анализа динамики многотельных систем широко используется запись уравнений в форме уравнений Лагранжа I рода с неопределенными множителями [1]. С помощью уравнений такого типа решается широкий класс задач неуправляемого и управляемого движения связанной системы тел.

В робототехнике [2] при решении задач синтеза управляемого движения использование уравнений Лагранжа I рода ведет к необходимости задания программных траекторий отдельных точек системы. В работе [3] рассматривается методика встраивания в систему управления программными движениями звеньев роботов генератора устойчивых траекторий. Предложенная система управления включает в себя управляемую подсистему, уравнения генератора программных траекторий по форме, близких к прямоугольной, и уравнения голономных связей. Выбор таких траекторий был обусловлен особенностями движения схвата робота. В работах [4–6] рассматриваются генераторы автоколебательного типа, которые позволяют обеспечить устойчивость движения управляемой подсистемы по заданным траекториям.

В данной работе конструируется система управления, в которой связи генератора траекторий с объектом управления являются неголономными [7]. Приведен пример системы управления с таким типом связей и получены условия устойчивости ее решения.

Математическая модель динамики системы тел

Рассмотрим динамику многотельных систем в форме уравнений Лагранжа I рода:

(1)

где – вектор обобщенных координат всей системы, M – матрица инерции, р – вектор множителей Лагранжа, – вектор внешних, внутренних сил системы, Ф – вектор геометрических связей, – матрица переменных коэффициентов связей точек. Уравнения в форме (1) не всегда удобно использовать для численного интегрирования, поэтому второе уравнение системы часто дифференцируют два раза, после чего система принимает вид

(2)

где , – вектор правых частей уравнений связей после двукратного дифференцирования. Если движение управляемое, то система (2) дополняется вектором управления u(t) и записывается в следующей форме

Таким образом, уравнения динамики включают в себя уравнения свободного движения тел и уравнения от геометрических связей; u(t) – вектор управляющих сил, действующих на систему.

Действие управляющих сил u(t) в уравнениях движения можно заменить уравнениями связей с заданными траекториями движения. Управление системой сводится к перемещению ее точек по заданным траекториям.

В случае неголономных связей управляемое движение системы определим следующим образом

(3)

где – вектор обобщенных координат генератора системы; q(x), – векторы связей.

После введения множителей Лагранжа система (3) запишется в виде

где p* – вектор множителей Лагранжа, соответствующих связям с заданными программными траекториями. При численном интегрировании такой системы дифференциальных уравнений с использованием явных методов интегрирования многократно решается система уравнений

.

Условия параметрической устойчивости системы управляемого движения

В качестве примера рассмотрим систему управляемого движения массы m: уравнения (3) будут иметь вид

(4)

после введения множителя Лагранжа –

(5)

где Q – постоянная сила.

Аналитическое решение системы (5) представим в виде

Условия связи в уравнении (4) делают зависимыми начальные условия для интегрирования уравнений (4), (5):

При несогласованных начальных условиях возникает возмущение движения (рис. 1), что может приводить к неустойчивости численного интегрирования системы (5).

Для анализа устойчивости (5) рассмотрим линеаризованные уравнения возмущенного движения, которые в матричной форме имеют следующий вид

,

где – вектор состояния системы, A – матрица вида

. (6)

Устойчивость системы (5) определяется собственными значениями матрицы A; для матрицы (6) одно из собственных значений имеет положительную действительную часть. Возмущенная система является неустойчивой, что проявляется при несогласованных начальных условиях. Этому случаю соответствуют графики перемещения и скорости, приведенные на рис. 1.

Для обеспечения устойчивости численного интегрирования (5) умножим обе части второго уравнения системы (4) на α. В этом случае аналитическое решение системы (5) можно получить из следующего представления уравнений

(7)

Устойчивое численное решение системы (7) можно получить двумя способами:

1) возможные значения параметра α первого уравнения системы (7) положить в интервал меньший 1, т.е. α < 1.

При уменьшении α наблюдается тенденция приближения графиков к точному решению (рис. 2).

При α < 0 собственные значения матрицы (6) имеют чисто мнимые части; при 0 < α < 1 некоторые из них – положительные действительные части;

2) введение дополнительных членов пропорциональных невязкам уравнений связей. Здесь этого можно добиться путем подстановки в первое уравнение системы (7) слагаемого, пропорционального множителю Лагранжа p*. Пусть параметр α = 1, тогда решение системы (7) примет вид

где c – положительное число.

Увеличение значений параметра c позволит стабилизировать возмущенное движение, возникающее в системе при несогласованных начальных условиях (рис. 3);

3) при получении устойчивого решения в п. 1 параметр α должен был удовлетворять условию: α < 1. Введение в первое уравнение системы (7) слагаемого – cp* снимает ограничения на значения α. Система запишется в виде

(8)

Матрице A линеаризованной системы в этом случае соответствуют отрицательные и положительные действительные части собственных значений. При достаточно больших значениях α положительная действительная часть будет стремиться к нулю.

Результаты численного интегрирования таких систем представлены на рис. 4, 5.

Для устойчивого решения росту α должен сопутствовать еще больший рост c.

Собственные значения матрицы A только при α < 0 имеют нулевые и отрицательные действительные части.

При малых отрицательных значениях c: –1 < c < 0, также можно получить устойчивое решение системы (8) при условии α < 1.

Таким образом, для стабилизации системы (8) должно выполняться одно из следующих соотношений на параметры

При α = 1, c = 0 система устойчива только при согласованных начальных условиях.

Рассмотрим систему (4), заменив в нем второе уравнение:

(9)

Система (9) в связанном виде записывается в форме

Рис. 1. Зависимость переменных x1 и x2 от времени t до стабилизации

Рис. 2. Зависимость переменных x1 и x2 от времени t при α = 0,1, α ≤ –1

Рис. 3. Зависимость переменных x1 и x2 от времени t при c = 0,5

Рис. 4. Зависимость переменных x1 и x2 от времени t при α = 3, c = 1

Рис. 5. Зависимость переменных x1 и x2 от времени t при α = 3, c = 30

Аналитическое решение системы (9) после дифференцирования уравнения связи представим следующим образом:

(10)

Хотя система (9) имеет очевидное решение , , численное интегрирование уравнения (10) не дает искомого решения и поиск методов стабилизации решения требует дополнительного исследования.

Заключение

Построена система управления, в которой взаимодействие генератора программных траекторий с управляемой подсистемой обеспечивают уравнения неголономных связей.

В робототехнике зачастую требуется получить циклические движения различной формы, обеспечивающие устойчивость движения как отдельного звена, так и всей системы.

Обычно в этом случае используются робастные ПИД-регуляторы, которые не всегда могут обеспечить устойчивость системы. Поэтому проблема синтеза устойчивых режимов управления движением по заданным траекториям остается актуальной.