Целью исследования является анализ и моделирование золотовалютных резервов с привлечением аппарата моделей для панельных данных. Статистическая выборка панельных данных, представляющих динамику запасов золота восьми стран: Германии, Франции, США, Китая, России, Нидерландов, Швейцарии и Японии – за семнадцать лет с 2000 по 2016 г. была сформирована из открытых баз данных Всемирного банка [1] и Всемирного золотого совета [2]. В качестве регрессоров модели использован ВНП каждой страны и запас золота (лаговые переменные). При формировании панельных данных была решена задача замены пропущенных значений, которые требовали либо удаления, что существенно сужает исследовательские возможности, либо их замещения. Замена пропущенных наблюдений выполнена с помощью пакета Multivariate Imputation by Chained Equations, предоставляемым языком программирования R.

Страны, которые мы рассматриваем в нашем исследовании, можно разделить на две группы. В первую группу входят технически развитые страны. В этих странах золото широко используется в различных областях техники и промышленных отраслях, а также для изготовления ювелирных изделий. К этим странам относятся Япония, США и Германия. В этих странах золото выступает как индикатор развития высоких технологий. За рассматриваемый период в этих странах не наблюдается тенденций к росту запасов золота. Вторая группа – это страны, интенсивно наращивающие запасы золота. Это Россия и Китай (рис. 1–2). Россия активно скупает золото. Причиной этого могут быть санкции США и Евросоюза, которые вынуждают российское руководство относиться к резервам в долларах и евро с большой осторожностью. Китай также стремится увеличивать свои золотые резервы.

Многие аналитики считают, что Китай и Россия, скорее всего, будут увеличивать запасы золота для защиты от экономической неопределённости в будущем.

В настоящее время наблюдается ситуация, когда финансовые власти России продают долговые обязательства правительства США ускоренными темпами. При этом Центробанк России продолжает скупать золото у российских золотодобытчиков максимальными за последние 12 лет объёмами. Сейчас Россия находится на пятом месте среди стран – держателей золота, обогнав недавно Китай. Впереди находятся США, Германия, Италия и Франция [3].

Выбор эконометрического инструментария

Выборочные данные состоят из наблюдений однотипных объектов (8 стран) в течение небольшого периода времени (17 лет). Поэтому в качестве инструмента выбран аппарат моделей для панельных данных, позволяющий выполнять оценивание при небольшом объеме выборки для отдельных экономических единиц [4–6]. Одним из преимуществ аппарата панельных данных является способность учитывать индивидуальную динамику (динамику на «индивидуальном уровне» [7, 8]), что особенно важно при моделировании зависимости объёма золотых резервов от ВВП страны, в которой текущий объем существенно зависит от объема и ВВП предыдущего года. Основными регрессионными моделями, применяемыми к панельным данным, являются:

• объединённая модель (Pooled model, Pool): спецификация не учитывает индивидуальные особенности объектов

, , (1)

где y_it – зависимая переменная, xit – вектор-строка регрессоров (размерностью k), ε_it – случайное возмущение; i = 1,..., n, t = 1,..., T, n – число объектов (панелей), T – число наблюдений в рамках одной панели, μ = const – постоянное для всех объектов значение свободного члена – параметр «местоположения», – вектор параметров «влияния», постоянный для всех объектов (панелей);

• модель с фиксированными эффектами (fixed effect model, FE): гетерогенность объектов учитывается индивидуальными параметрами местоположения μ_i,

, , (2)

• модель со случайными эффектами (random effect model, RE): гетерогенность объектов учитывается независящей от времени специфической составляющей ошибки mi:

, , ,

. (3)

В статических моделях (1)–(3) предполагается, что , и оценки параметров получаются состоятельными и эффективными, при обоснованном выборе характера эффектов.

Рис. 1. Динамика запасов золота в России

Рис. 2. Динамика запасов золота в Китае

Результаты оценивания

Формальное применение аппарата моделей для панельных данных приводит к следующему результату:

Объединенная модель:

,

, (4)

, – число панелей, T = 16 – число наблюдений в рамках одной панели, nT = 128 – объём панельных данных. В скобках под оценками параметров приводятся их стандартные ошибки, RSS (Residuals Sum of Squares) – сумма квадратов остатков.

Модель с фиксированными эффектами:

, ,

. (5)

В оцененной модели (5) приводятся оценки параметров влияния (общие для всех панелей). Для получения их состоятельных оценок, в модели с фиксированными эффектами, используется процедура раздельного оценивания параметров влияния и местоположения. Для спецификации в матричном виде [9, 10]

, (6)

где – вектор значений эндогенных переменных, центрированных по индивидуальным средним (средним по каждой панели), – матрица регрессоров, центрированных по индивидуальным средним, – оператор внутригруппового преобразования (центрирования по индивидуальным средним),

– матрица фиктивных переменных, учитывающая гетерогенность панельных данных в моделях с фиксированным эффектом,

, (7)

– вектор МНК-оценок параметров влияния. Оценки параметров местоположения вычисляются по оценкам параметров влияния:

, (8)

где

– оператор формирования вектора индивидуальных средних. В табл. 1 приводятся оценки параметров местоположения, полученные в рамках раздельной процедуры оценивания (5)–(8).

Модель со случайными эффектами:

,

, . (9)

Минимальную сумму квадратов остатков обеспечивает модель с фиксированными эффектами. Адекватность этой модели подтверждается и тестированием характера гетерогенных эффектов. F-тест (, функция в программной среде R pFtest()) [11]:

,

p-value = 2,708e-11,

где k – число параметров влияния, RSSpool – сумма квадратов остатков объединённой модели, RSSFE – сумма квадратов остатков модели с фиксированными эффектами. Тест множителей Лагранжа (тестирование Pooled-модели против модели RE, , (функция в программной среде R plmtest()):

,

p-value = 0,146,

где e – вектор-столбец остатков в объединённой модели, D – матрица фиктивных переменных, не выявил значимых случайных эффектов для различных стран. Тест Хаусмана (тестирование модели RE против модели FE, , (функция в программной среде R phtest()):

= 84,733 > ,

где – оценка автоковариационной матрицы вектора , отклоняет нулевую гипотезу об адекватности модели со случайными эффектами.

Тестирование наличия автокорреляции в моделях для панельных данных может быть выполнено при помощи обобщенной статистики Дарбина – Уотсона в рамках модели с фиксированными эффектами, так как оценки параметров модели с FE состоятельны и в случае адекватности модели со случайными эффектами [7, 12]:

= 1,203,

p-value = 2.212e-06. (10)

Так как области неопределенности обобщенного теста являются малыми и изменения критических значений, в зависимости от параметров (n, T, K) незначительные, то полученный результат показывает наличие автокорреляции случайного возмущения в модели FE. Одной из причин автокорреляции является ошибка спецификации модели. К сожалению, в моделях (4), (5), (6) присутствует проблема эндогенности регрессоров, и применение «статического» аппарата моделей для панельных данных приводит к смещённым и несостоятельным оценкам, поскольку лаговое значение эндогенной переменной коррелирует с индивидуальным (фиксированным или случайным) эффектом μ_i, т.е. ни внутригрупповое (6), ни межгрупповое преобразования переменных не исключают проблему эндогенности.

Спецификация динамической модели, с учетом индивидуального эффекта, может быть записана следующим образом:

, (11)

где yit – текущее значение объёмов золота в золотовалютных резервах i-й страны, – лаговое значение объёмов золота в золотовалютных резервах i-й страны, xit – текущее значение ВВП страны. Для корректировки моделей с эндогенными регрессорами используется метод инструментальных переменных МИП [13, 14]. Для выбора инструмента для лагового регрессора выполним следующие преобразования модели (11). Избавимся от индивидуальных эффектов путем перехода к первым разностям переменных

. (12)

Из спецификации (12) следует, что

,

,

т.е. лаговая переменная может быть выбрана в качестве инструментальной переменной для регрессора . Регрессор – экзогенный, поэтому может быть использован инструментом для самого себя. МИП-оценка параметров модели (12) в матричной форме имеет вид

, (13)

где Z – матрица инструментальных переменных, X – матрица регрессоров, Y – вектор значений эндогенной переменной. Структура матриц МИП-оценки (13) для модели (12) представлена в табл. 2.

Таблица 1

Оценки параметров местоположения модели FE

Таблица 2

Структура матриц МИП-оценки

Получена следующая МИП-оценка (13) модели (12):

, , , (14)

, . (15)

Обобщенная статистика Дарбина – Уотсона (10): DWp = 2,15, показывает отсутствие автокорреляции остатков в модели (14) с МИП-оценкой (15).

Использование инструментов Z в оценке (13) оправдано только в случае корреляции регрессоров с возмущениями модели. Если корреляция отсутствует (), то МНК-оценки точнее МИП-оценок. Формальный тест, позволяющий определять, какой метод оценивания следует применять, это тест Хаусмана, основанный на сравнении оценок параметров в основной и альтернативной моделях. Статистика теста имеет вид квадратичной формы [15]:

, (16)

где m – число инструментов, – оценка автоковариационной матрицы вектора , которая в рамках нулевой гипотезы принимает вид

,

так как

,

.

Таблица 3

Оценка автоковариационных матриц статистики Хаусмана

При справедливости ,

Используя в качестве оценки дисперсии возмущения оценку, вычисленную по остаткам обычного МНК – (МНК-оценка более устойчива к слабым инструментам), вычислим оценки автоковариационных матриц , . Результаты оценивания приведены в табл. 3.

Результат тестирования: , следовательно, для исследуемых панельных данных можно использовать обычный МНК для спецификации (14), который дает более точные результаты, чем МИП:

, . (17)

Построенная модель может быть улучшена посредством увеличения рассматриваемого временного периода и расширения как перечня наблюдаемых объектов (стран), так и перечня влияющих факторов. Периодическое тестирование на обновленных панельных данных решает задачи актуализации построенных моделей и возможности построения более точных прогнозов.