Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

ANALYTICAL MODELING AND SIMULATION OF TWO-LINK MANIPULATOR MOVEMENTS

Zavalishchin D.S. 1, 2
1 Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg
2 Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg
In this paper a two-link manipulator in a viscous medium is considered. The problem of determining the minimum energy required to move a two-link manipulator from initial position to final is investigated. Solution of the problem based on the construction of controls that optimize energy consumption at a fixed time. The parameters determining the optimal manipulator motion are calculated by numerical experiment. As an additional result an analytical description of the manipulator displacing controls from the initial position to final position for a given fixed time with minimal power consumption is obtained. A characteristic feature is the absence of a direct dependence of the trajectories from moving time. However, it cannot be tends to zero, because it will cause a significant increase in the speed of movement and, as a consequence, increase of Reynolds numbers to the output of the process beyond the laminar flow.
dynamic system
control problem
fluid dynamics
manipulator
1. Dykhta V.A., Samsonjuk O.N. Optimal’noe impul’snoe upravlenie s prilozhenijami [Optimal Impulse Control with Applications]. Moscow, Nauka, FIZMATLIT, 2000. 256 p.
2. Zavalishchin D.S. Jenergosberegajuschie algoritmy peremeschenija transportnogo manipuljatora v vjazkoj srede [Energy Consumption Algorithm of Displacement for Transport Manipulator in Viscous Medium]. Izvestija RAN. Teorija i sistemy upravlenija, 1995, no. 2, pp. 169–174.
3. Zavalishchin S.T., Cheban А.V. Transportnyj manipuljator v vjazkoj srede: jenergosberegajuschie algoritmy peremeschenija [Transport Manipulator in Viscous Medium: Energy Consumption Algorithm of Displacement]. A&T, 1999, no. 12, pp. 166–175.
4. Zavalishchin D.S., Zavalishchin S.T. Dinamicheskaja optimizacija obtekanija [Dynamic Optimization of Flow]. Moscow, Nauka, FIZMATLIT, 2002. 224 p.
5. Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Impul’snye processy: modeli i prilozhenija [Impulse Processes: Models and Applications]. Moscow, Nauka, 1991. 256 p.
6. Zavalishchin D.S. Optimization Setting of Slezkin’s Problem. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. M.: MAIK, «Nauka/Interperiodika», 2002, Vol.8, nо. 2. pp. 193–202
7. Zavalishchin D.S. Control Problems for a Body Movement in the Viscous Medium. From Physics to Control Through an Emergent View. World Scientific Series on Nonlinear Science, Editor: Leon O.Chua, University of California, Berkeley, Series B, Vol. 15, 2010, pp. 295–300.

Задача управления двухзвенным манипулятором в вязкой среде по критерию минимума энергетических затрат рассматривалась в [1, 3, 5]. Возникает интерес исследовать аналогичную задачу с точки зрения существования аналитических зависимостей для моделирования оптимальных траекторий перемещения манипулятора из начального положения в заданное при минимальных энергетических затратах. Такая постановка является актуальной для автономных манипуляторов [2]. Ситуация, в которой нужно исходить из весьма ограниченной энергетики мобильных манипуляторов, является естественной, а для автономных манипуляторов и неизбежной. Тогда с точки зрения теории динамической оптимизации обтекания [4, 6] актуальна следующая задача: найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение манипулятора из начального положения в заданное с ограниченными энергетическими затратами.

Постановка задачи

Рассматривается механическая система, состоящая из трех материальных точек O0, O1, O2, соединенных между собой бесконечно тонкими абсолютно жесткими безынерционными стержнями с длинами r1 и r2 (рис. 1). Вся система располагается в вертикальной плоскости и может вращаться вокруг точки O0, а звено O1O2 – вокруг точки O1. Такая система моделирует транспортный манипулятор (ТМ), предназначенный для перемещения грузов. При этом точки O1, O2 соответствуют центрам инерции первого и второго звена манипулятора соответственно. Транспортируемый груз входит в состав второго звена.

Элементы ТМ связаны цилиндрическими шарнирами в точках O0, O1, в которых действуют создаваемые внутренними силами управляющие моменты U1, U2.

pic_90.wmf

Рис. 1. Двухзвенный манипулятор

Силы тяжести m1g и m2g, силы сопротивления среды D1 и D2 и силы Архимеда приложены к первому и второму звену соответственно.

Введем следующие обобщенные координаты ТМ: φ, υ – величины, характеризующие угловое положение звеньев O0O1, O1O2 соответственно. Тогда координаты точек O1, O2 можно определить формулами:

Eqn46.wmf

Уравнения движения ТМ имеют вид [4]:

Eqn47.wmf (1.1)

где

Eqn48.wmf

Eqn49.wmf

Eqn50.wmf

Выражение для мощности выписывается в форме:

Eqn51.wmf (1.2)

Теперь можно поставить задачу о нахождении оптимальных управляющих моментов при перемещении ТМ из начального состояния в заданное с ограничениями на работу A(T).

Нахождение оптимальных траекторий

Введем обозначения:

Eqn52.wmf (2.1)

После решения задачи минимизации работы по перемещению манипулятора получим двухточечную краевую задачу [4]:

Eqn53.wmf (2.2)

с начальными условиями

Eqn54.wmf (2.3)

где

Eqn55.wmf

Eqn55.wmf (2.4)

Обозначим постоянные

Eqn56.wmf

Тогда Eqn57.wmf В системе (2.2) постоянные c1 и c2 подбираются так, чтобы выполнялись краевые условия (2.3). Таким образом, эти постоянные являются функциями от набора значений переменных {z10, z1T, z30, z3T} в начальный и конечный моменты времени.

Если переписать систему (2.1) в виде

Eqn58.wmf (2.5)

при тех же начальных условиях (2.3) и рассмотреть невырожденный случай, когда z3T ? z30, то возникают два варианта. В первом из них z3T ≥ z30, и в уравнении системы (2.5) выбирается знак плюс, во втором, при z3T ≤ z30, выбирается знак минус. Далее без ограничения общности можно считать, что реализуется первый вариант. С учетом соотношения (2.4) и введенных обозначений можно решить второе уравнение системы (2.5). Перепишем его в виде

Eqn59.wmf (2.6)

Отсюда получим

Eqn60.wmf (2.7)

Введем обозначение Eqn61.wmf или Eqn62.wmf. Тогда систему (2.2) можно записать в виде

Eqn63.wmf (2.8)

или

Eqn64.wmf (2.9)

Таким образом, фазовая траектория системы

Eqn65.wmf (2.10)

то есть не зависит от константы c1.

Моделирование оптимального управления

Полученная задача (2.8), (2.9) решается численно. Моделирование экстремальных программ позволит качественно оценить поведение исследованной системы [7]. Находятся оптимальные значения параметров c1k, которые определяют оптимальное движение манипулятора в соответствии с уравнениями (2.5). Само оптимальное управление определяется соотношениями (1.1).

При численном решении задачи нужно учитывать, что функции f1(z3, c1, k), f2(z3, c1, k) должны быть определены и действительны на интервале [z30, z3T], что дает дополнительные ограничения на постоянные.

На рис. 2 показано оптимальное движение двухзвенного манипулятора при следующих исходных данных:

Eqn66.wmf

pic_91.tif

Рис. 2. Оптимальные перемещения ТМ (m1 = 0,1; m1 = 1,0 )

На рис. 3 показано оптимальное движение двухзвенного манипулятора при других исходных данных, масса второго звена меньше массы первого.

В результате решена задача построения оптимальных программ перевода транспортного манипулятора из начального положения в заданное при ограничениях на затраченную работу.

Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-00356 и в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математические модели и алгоритмы в управляемых системах с нелинейной динамикой» при поддержке УрО РАН, проект № 12-П-1-1012/1.

pic_92.tif

Рис. 3. Оптимальные перемещения ТМ (m1 = 0,1; m1 = 1,0 )

Рецензенты:

Тимофеева Г.А., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, УрГУПС, г. Екатеринбург;

Сесекин А.Н., д.ф.-м.н., профессор, в.н.с., ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург;

Попов Ф.А., д.т.н., профессор, зам. директора по информационным технологиям, Бийский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова», г. Бийск.

Работа поступила в редакцию 13.11.2012.