Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

GENERALIZED MODEL OF THE SCALE EQUATION, BASED ON THE PHENOMENOLOGICAL THEORY OF CRITICAL PHENOMENA

Rykov S.V. 1 Rykov V.A. 1
1 ITMO University
На основе обобщенной модели феноменологической теории критических явлений и гипотезе Бенедека, в основе которой лежит утверждение об одинаковом характере поведения ряда термодинамических функций на критической и околокритических изохорах в асимптотической окрестности критической точки, предложено непараметрическое уравнение скейлингового вида в физических переменных. Проведен анализ предложенного уравнения состояния, в структуру которого входят интегралы от дифференциальных биномов, и установлены условия, при которых опорной кривой в предложенной модели является не линия псевдокритических точек, а термическая спинодаль. Показано, что при значениях критических индексов a = 0,11 и g = 1,446 обобщенная модель феноменологической теории критических явлений совпадает с моделью Мигдала А.А., в которой роль опорной кривой также выполняет термическая спинодаль.
On the basis of a generalized model of the phenomenological theory of critical phenomena and the Benedek hypothesis, which is based on the assertion of the same nature of the behavior of thermodynamic functions on the critical and near-critical isochores in the asymptotic vicinity of the critical point, it is proposed nonparametric scaling equation of state in the physical variables. The analysis of the proposed equation of state, the structure of which consists of integrals of differential binomials, and establish the conditions under which the reference curve in the proposed model is not a line of pseudocritical points but thermal spinodal. It is shown that when the values of the critical exponents a = 0,11 and g = 1,446 the generalized model of the phenomenological theory of critical phenomena coincides with the Migdal model, in which the role of the reference curve also performs thermal spinodal.
spinodal
line of pseudocritical points
scale equation of state
isothermal compressibility
isothermal compressibility
critical phenomena
pseudospinodal
1. Kudryavtseva I.V., Rykov A.V., Rykov V.A., Processy i apparaty pishhevyh proizvodstv, 2013, no. 2, рp. 29.
2. Kudryavtseva I.V., Rykov A.V., Rykov V.A., Holodil’naja tehnika i kondicionirovanie, 2013, no. 2, рp. 4.
3. Kudryavtseva I.V., Rykov A.V., Rykov V.A., Rykov S.V., Vestnik of International Academy of Refrigeration, 2013, no. 3, pp. 22–26.
4. Kudryavtseva I.V., Rykov S.V., Rykov V.A., Processy i apparaty pishhevyh proizvodstv, 2013, no. 2, рp. 28.
5. Lysenkov V.F., Popov P.V., Rykov V.A., Obzory po teplofizicheskim svojstvam veshhestv, 1992, no. 1, pр. 78.
6. Migdall A.A., Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1972, v. 62, no. 4, pp. 1559–1573.
7. Rykov A.V., Kudryavtseva I.V., Rykov V.A., Nauchno-Tehnicheskij Vestnik Povolzhja, 2013, no. 5, pp. 50–53.
8. Rykov V.A. High Temperature, 1990, v. 25, no. 2, рp. 345.
9. Rykov V.A., Russian Journal of Physical Chemistry A, 1985, v. 59, no. 11, рp. 2905.
10. Rykov S.V. Nauchno-Tehnicheskij Vestnik Povolzhja, 2014, no. 1, pp. 33–36.
11. Rykov S.V., Kudryavtseva I.V. Fundamentalnie issledovania, 2014, no. 9–8, pp. 1687–1692.
12. Rykov S.V., Kudryavtseva I.V., Rykov V.A., Nauchno-Tehnicheskij Vestnik Povolzhja, 2014, no. 2, pp. 44–47.
13. Benedek G.B., Polarisation, matiere et rayonnement. Presses Universitaires de France, Paris. 1969, pр. 49.
14. Kozlov A.D., Lysenkov V.F., Popov P.V., Rykov V.A., Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1992, Vol. 62, no. 6, pp. 840–847.
15. Schofield P. Phys. Rev. Lett, 1969, v. 22, no. 12, pp. 606–609.

Начиная с первых работ (см. обзор [5]), посвященных разработке уравнений состояния скейлингового вида, удовлетворяющих масштабной теории критических явлений, их авторы пытались использовать в качестве опорной кривой термическую спинодаль, положение которой на термодинамической поверхности определяется равенством

rykov01.wmf (1)

где p – давление; ρ – плотность; T – абсолютная температура.

При этом в силу того, что в рамках МТ изохорная теплоемкость Cv имеет особенность в критической точке, то спинодаль отождествляли с линией сингулярности Cv, т.е. с геометрическим местом точек, в которых выполняется равенство

rykov02.wmf (2)

где s – энтропия.

Линию, в каждой точке которой выполняются равенства (1) и (2), назвали псевдоспинодалью. Однако в работе [9] показано, что имеет место следующее утверждение: в каждой точке линии псевдокритических точек (линии сингулярности изохорной теплоемкости) выполняются равенства

rykov03.wmf, (3)

и только в критической точке одновременно выполняются равенства (1) и (2). Отметим, что в работах [10, 11, 12] метод псевдокритических точек [9] получил свое физическое обоснование.

И именно на основе соотношений (3) были сконструированы масштабные функции в физических переменных [2, 4, 7, 8], в том числе и не содержащие в своей структуре интегралов от дифференциальных биномов [2, 4], которые уступают по своим расчетным характеристикам наиболее удачным масштабным функциям, полученным в рамках параметрического представления масштабной гипотезы [15].

Таким образом, до настоящего времени не удалось построить масштабное уравнение, в котором роль опорной кривой выполняет спинодаль (1), а не линия псевдокритических точек (3). Решению этой задачи и посвящена данная работа.

Материал и методы исследования

Рассмотрим обобщенную модель масштабного уравнения (МУ), используя в качестве базовой функции изотермическую сжимаемость Kt:

rykov04.wmf (4)

где rykov05.wmf ρc, pc – критические плотность и давление соответственно; μ – химический потенциал; μ0(T) – регулярная функция; β, γ – критические индексы; ε – варьируемый параметр.

Параметр m в формуле (4) согласно [6] задается равенством

rykov06.wmf (5)

где rykov07.wmf

Подставляя (5) в (4), получим

rykov08.wmf (6)

Решим (6) относительно Δμ:

rykov09.wmf (7)

Учтем, что согласно экспериментально подтвержденной гипотезе [13] об одинаковом характере поведения изотермической сжимаемости на критической и околокритических изохорах в асимптотической окрестности критической точки справедлива зависимость [11]:

rykov10.wmf (8)

где x – масштабная переменная; A и x1 – постоянные.

Подставим (8) в (7) и проведем ряд преобразований:

rykov11.wmf (9)

где rykov12.wmf

Или, учитывая, что rykov13.wmf получим из (9)

rykov14.wmf (10)

Так как

rykov15.wmf (11)

а свободная энергия Гельмгольца F связана с химическим потенциалом выражением

rykov16.wmf (12)

где A0(T) – регулярная функция температуры, подставляя (11) в равенство (12), получим:

rykov17.wmf (13)

Перейдем в (13) к новой переменной t:

rykov18.wmf (14)

и в результате получим

rykov19.wmf (15)

Представляя интегралы от дифференциальных биномов, в виде ряда получим следующее выражение для свободной энергии Гельмгольца:

rykov20.wmf (16)

где α – критический индекс изохорной теплоемкости.

Перейдем в (16) от переменной t к масштабной переменной x:

rykov21.wmf (17)

Так как имеет место термодинамическое равенство

rykov22.wmf (18)

то, подставляя (13) в (18), найдем выражение для давления:

rykov23.wmf (19)

Для того, чтобы найти выражение для изотермической сжимаемости Kt, необходимо найти частную производную rykov24.wmf:

rykov25.wmf (20)

Если имеет место неравенство

rykov26.wmf (21)

то согласно (21) в каждой точке линии

rykov27.wmf (22)

выполняется равенство (1). Это означает, что в случае если параметр ε удовлетворяет условию (21), то уравнение (22) описывает на термодинамической поверхности термическую спинодаль (1), а не линию псевдокритических точек (3).

Неизвестный параметр rykov29.wmf можно найти из условия равенства нулю на линии насыщения x = –x0 масштабной функции h(x) химического потенциала, которая согласно (9) имеет вид

rykov30.wmf (23)

Таким образом, учитывая равенство h(–x0) = 0 и выражение (23), имеем

rykov31.wmf (24)

Так как энтропия и свободная энергия Гельмгольца связаны термодинамическим равенством rykov32.wmf выражение для энтропии s имеет вид

rykov33.wmf. (25)

Подставляя (25) в термодинамическое равенство rykov34.wmf получим следующее выражение для сингулярной составляющей изохорной теплоемкости

rykov35.wmf (26)

где rykov36.wmf rykov37.wmf rykov38.wmf

Воспользуемся соотношениями (14) и представим (26) в виде

rykov39.wmf (27)

где rykov40.wmf.

Вычислим входящий в (27) интеграл и придем к следующему выражению:

rykov41.wmf (28)

В правую часть (28) входит сомножитель (x + x1)–α, который расходится при x → x1. Однако изохорная теплоемкость согласно (3) остается конечной на линии x = –x1, за исключением критической точки (Δρ = 0; τ = 0). В этом можно непосредственно убедиться, оценив интеграл, входящий в формулу для теплоемкости (26). При этом необходимо учесть, что α ≈ 0,1; γ ≈ 1,24.

Проверим адекватность предложенной модели масштабного уравнения состояния (10) при выполнении условия (21). Если критические индексы принимают значения α = 0,11 и γ = 1,326, то условие (21) выполняется при ε = 1; а при α = 0,11 и γ = 1,446 условие (21) выполняется при ε = 2. Однако если ε = 2, то из (7) непосредственно следует представление масштабной гипотезы в форме, предложенной в [15] и широко используемой при описании критических явлений [1, 3, 14].

Заключение

Доказана принципиальная возможность построения масштабного уравнения состояния в физических переменных плотность – температура, в котором в качестве опорной линии используется не линия сингулярности изохорной теплоемкости, а термическая спинодаль (1). Важным обстоятельством является то, что предложенное уравнение строго рассчитано в рамках феноменологической теории критических явлений, базирующейся на результатах работы [6].

Рецензенты:

Борзенко Е.И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой криогенной техники ИХиБТ, НИУ ИТМО, г. Санкт-Петербург;

Цветков О.Б., д.т.н., профессор, зав. кафедрой теоретических основ тепло- и хладотехники ИХиБТ, НИУ ИТМО, г. Санкт-Петербург.

Работа поступила в редакцию 18.11.2014