Исследование разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных является одним из основных разделов обширной теории дифференциальных уравнений. Особое место в подобных исследованиях занимают задачи для смешанных и смешанно-составных уравнений. Это обусловлено непосредственными связями уравнений смешанного типа с теорией интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, а также их прикладной значимостью в математической физике и биологии.
В настоящей работе в ограниченной односвязной области исследована классическая краевая задача для линейного неоднородного смешанного уравнения с переменными коэффициентами. Помимо классических краевых условий в постановке использованы разрывные условия сопряжения на линии изменения типа уравнения и условия согласования. Доказательство разрешимости задачи проведено методом конечных интегральных преобразований.
Постановка задачи
В области Ω = {z: 0 < x < ℓ, –t2 < t < t1} евклидовой плоскости точек z = (x, t) рассмотрим уравнение
(1)
где ℓ, t1, t2 – const > 0, ai, bi, ci, di – достаточно гладкие функции (i = 1, 2).
Введем обозначения:
J = {z: 0 < x < ℓ, t = 0},
Ω1 = Ω ∩ (t > 0); Ω2 = Ω ∩ (t < 0);
причем i = 1 если t → 0+; i = 2 если t → 0–.
Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая
Задача A. Найти регулярное в Ω1 ∪ Ω2 решение u(x, t) уравнения (1) из класса
удовлетворяющее краевым условиям
u(0, t) = φ1(t); u(ℓ, t) = ψ1(t), t ≥ 0; (2)
u(0, t) = φ2(t); u(ℓ, t) = ψ2(t), t ≤ 0; (3)
u(x, t1) = f1(x); u(x, –t2) = f2(x), 0 ≤ x ≤ ℓ; (4)
условиям сопряжения
(5)
и условиям согласования
f1(0) = φ1(t1); f1(ℓ) = ψ1(t1);
φ1(0) = α1 + α2∙φ2(0); ψ1(0) = α1 + α2∙ψ2(0);
f2(0) = φ2(–t2); f2(ℓ) = ψ2(–t2),
где φi, ψi, fi – заданные функции из C1, а αi, βi – заданные постоянные, такие, что α2∙β2 ≠ 0.
Доказательство разрешимости задачи А проведем методом конечных интегральных преобразований, по аналогии с работами [3, 8, 7].
Заметим, что краевые задачи в характеристических и прямоугольных областях для уравнений, представляющих частный случай уравнения (1), исследовались в работах [1, 2, 4, 5, 6].
Для сформулированной задачи необходимо рассмотреть следующие случаи:
1) ai(t) ≠ 0;
2) ai(t) = 0;
3) a1(t)a2(t) = 0, но 
Легко видеть, что в случаях (2) и (3) оба или одно из условий (4) являются переопределяющими задачу.
В настоящей работе рассмотрим более подробно последний случай.
Пусть, например, a1(t) = 0, а a2(t) ≠ 0. Тогда уравнение (1) в области Ω1 является уравнением параболического типа и принимает вид:
Далее проведем ряд преобразований пренебрегая первым из условий (4).
Применяя к последнему равенству конечное синус-преобразование Фурье [9]:
n = 1, 2, ... (6)
по переменной x на отрезке [0, ℓ] к уравнению (1) при t > 0, будем иметь
где u1 = u1n(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω1.
Подставляя полученные выражения в уравнение (6), приходим к параметрическому обыкновенному дифференциальному уравнению
(7)
Здесь 
– результат преобразования функции d1(x, t).
Аналогично при t < 0 получим
где u2 = u2(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω2,
Подставляя полученные соотношения в уравнение (1) при t < 0, приходим к следующему уравнению:
(8)
Здесь
δ2 = δ2(t) – результат преобразования функции d2(x, t).
Точно так же из (5) будем иметь
(9)
Далее, проинтегрируем уравнения (7), (8). Если b1(t) = 0, то u1(t) сразу определяется из (7), в противном случае, как известно (например [10]), общее решение уравнения (7) имеет вид
(10)
где γ1 – произвольная постоянная; F1(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения; F2(t) – частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение уравнения (7) может быть представлено в виде [2, с. 115]:
(11)
где γ2, γ3 – произвольные постоянные; Φ1(t) – частное решение неоднородного уравнения; Φ2(t), Φ3(t) – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.
Из (10) и (11), с учетом (9), а также принимая во внимание (4), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных γ1, γ2, γ3:
(12)
где 
– результат преобразования функции f2(x).
Таким образом, вопрос однозначной разрешимости задачи (1)–(5) редуцирован к вопросу разрешимости системы (12). Применяя обратное преобразование [9]:
к функциям u1, u2, получим решение задачи (1)–(5) в областях Ω1, Ω2 в виде соответствующих рядов Фурье.
В заключение отметим, что случаи (1) и (2) исследуются аналогично.
Рецензенты:
Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик;
Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор, заведующая кафедрой системного анализа и компьютерных технологий управления, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик.