Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

SUSTAINABLE NUMERICAL METHODS FOR SOLVING CAUCHY PROBLEM FOR LINEAR SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abregov M.K. 1 Kanchukoev V.Z. 1 Mashukov I.K. 1
1 Kabardino-Balkaria State University K.M. Berbekov
1026 KB
The work is dedicated to building a sustainable numerical method for solving the Cauchy problem for a linear ordinary differential equation of the second order, which is often used in the study of applied problems of physics, engineering, biology, and other fields of science. It is known that the solution of this problem may be unstable. In this case, it is difficult to obtain a solution numerically, since rounding errors and truncation have on the result of the same effect as changing the initial conditions. The proposed work method is based on reducing the initial problem to an equivalent Cauchy problem for a linear ordinary differential equation of second order with a nonlocal integral condition and its subsequent decision finite-difference method. Finite-difference scheme approximating differential problem with nonlocal condition for a second order of accuracy for grid spacing is reduced to the solution of two stable finite-difference schemes of the second order with boundary conditions of the first kind.
cauchy problem for an ordinary linear differential equation of the second order
stability of the solution
a numerical method for the solution
a priori estimate
1. Bahvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M.. Chislennye metody. M.: Nauka, 1987.
2. Ortega Dzh., Pul U.. Vvedenie v chislennye metody reshenija differencial’nyh uravnenij. M.: Nauka, 1986.
3. Samarskij A.A.. Teorija raznostnyh shem. M.: Nauka, 1989.
4. Samarskij A.A., Gulin A.V. Chislennye metody. M.: Nauka, 1989.
5. Stepanov V.V. Kurs differencialnyh uravnenij. M.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1956.

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка

albegov01.wmf 0 < x < l; (1)

u(0) = 0; albegov02.wmf (2)

Будем предполагать, что коэффициенты и правая часть уравнения (1) удовлетворяют условиям: k(x) ∈ C3[0, l]; g(x), f(x) ∈ C2[0, l]; c2 ≥ k(x) ≥ c1 > 0; albegov03.wmf.

Известно [5], что решение задачи (1)–(2) существует и единственно в классе функций C4[0, l]. Однако это решение, как показано в [2], при больших значениях l может оказаться неустойчивым. Это означает, что сколь угодно малые изменения начальных условий могут вызвать сколь угодно большие изменения решения при больших значениях l. В этом случае сложно получить указанное решение численно, так как ошибки округления и усечения оказывают такое же влияние, как и изменение начальных условий, и приводят к тому, что решение становится неограниченным.

Проинтегрировав уравнение (1) по отрезку [0, l] и воспользовавшись начальным условием (2), приходим к эквивалентной задаче

albegov04.wmf x ∈(0, l); (3)

u(0) = 0; (4)

albegov05.wmf (5)

На равномерной сетке

albegov06.wmf

задачу (3)–(5) аппроксимируем конечно-разностной схемой

albegov07.wmf

i = 1, 2, ..., N – 1;

y0 = 0; (6)

albegov08.wmf

где

albegov09.wmf di = g(xi); φi = f(xi). (7)

Нетрудно показать, что разностная схема (6) аппроксимирует дифференциальную задачу (3)–(5) с точностью 0(h2). Используя обозначения [3]

albegov10.wmf

albegov11.wmf albegov12.wmf

albegov13.wmf

перепишем задачу (6) в форме

albegov14.wmf (8)

y0 = 0; albegov15.wmf (9)

Нетрудно показать единственность решения задачи (8), (9). Действительно, если albegov16.wmf и albegov17.wmf – два решения задачи (8), (9), то, очевидно, разность albegov18.wmf будет решением задачи

albegov19.wmf i = 1, 2, ..., N – 1, (10)

v0 = 0; albegov20.wmf (11)

Суммируя (10) по i от 1 до N – 1, приходим к равенству

albegov21.wmf

из которого следует, с учетом условия (22), что albegov22.wmf

Таким образом, сеточная функция v будет решением конечно-разностной задачи Коши

albegov23.wmf v0 = 0; albegov24.wmf

из которой следует, что vi = 0, i = 0, 1, ..., N, что означает единственность решения задачи (8), (9).

Будем искать решение задачи (8), (9) в виде

albegov25.wmf i = 0, 1, ..., N, (12)

где Pi и Qi – сеточные функции, определенные на сетке ωh, как решения разностных задач:

albegov26.wmf P0 = 0; PN = 0; (13)

albegov27.wmf Q0 = 0; QN = 1, (14)

где коэффициенты a, d и правая часть φ определены по формулам (7). Как известно [3], задачи (13) и (14) однозначно разрешимы в силу условий на a, d.

Для решения задачи (13) имеет место априорная оценка [4]

albegov28.wmf (15)

а для решения задачи (14) имеет место равномерная оценка

albegov65.wmf (16)

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функция y, определенная по формуле (12), удовлетворяет уравнению (8) и начальному условию y0 = 0. Подставив (12) в нелокальное условие (9), приходим к равенству

albegov29.wmf

откуда выражаем yN:

albegov30.wmf (17)

Покажем ограниченность yN. Преобразуем правую часть (17). Суммируя уравнение (13) по i от 1 до N – 1, приходим к равенству

albegov31.wmf (18)

Суммируя уравнение (14) по i от 1 до N – 1, получаем

albegov66.wmf (19)

С учетом (18) и (19) выражение (17) для yN принимает вид

albegov33.wmf (20)

Оценим снизу albegov35.wmf. Это число не может быть отрицательным, что противоречило бы принципу максимума [3] первой краевой задачи для уравнения (14). Также albegov67.wmf, это противоречит условию QN = 1. Следовательно, albegov36.wmf.

Пусть ri – сеточная функция, определенная на ωh, и является решением разностной задачи

albegov37.wmf r0 = 1; rN = 0. (21)

Умножим уравнение (21) скалярно на Q, а уравнение (14) скалярно на r и вычтем почленно одно из другого. Применяя разностную формулу интегрирования по частям [3] и учитывая краевые условия (14), (21), приходим к равенству

albegov38.wmf

откуда находим

albegov39.wmf (22)

Нетрудно показать, что для всех i = 1, 2, ..., N выполняются неравенства

albegov40.wmf albegov41.wmf Q ≥ 0, r ≥ 0.

С учетом этих оценок из (22) получаем

albegov42.wmf (23)

Оценим снизу выражение albegov43.wmf. Используя точное решение задачи (21), находим, что

albegov44.wmf,

где albegov45.wmf

Положив

albegov46.wmf

на отрезке albegov47.wmf получим непрерывную, возрастающую по h функцию. Следовательно, для любого albegov48.wmf имеет место неравенство albegov49.wmf. Таким образом, albegov50.wmf откуда следует, что

albegov51.wmf (24)

Теперь оценим сверху модуль выражения albegov52.wmf. Умножая скалярно разностное уравнение (13) на сеточную функцию albegov53.wmf, определенную на ωh, получим

albegov54.wmf (25)

Применяя разностную формулу интегрирования по частям [4] в (25) и учитывая краевые условия (13) и равенства albegov55.wmf vN = 0, v0 = 1, получаем

albegov56.wmf (26)

Применяя неравенство Коши – Буняковского [1, 3], оценим по модулю слагаемые в правой части (26):

а) albegov57.wmf

б) albegov58.wmf

в) albegov59.wmf

С учетом полученных оценок и неравенства albegov60.wmf из (26) находим

albegov61.wmf (27)

Из (24) и (27) получаем оценку

albegov62.wmf (28)

Из (12), используя оценки (15), (16) и (28), получаем равномерную оценку решения конечно-разностной схемы (8), (9),

albegov63.wmf (29)

где albegov64.wmf

Из оценки (29) следует устойчивость конечно-разностной схемы (8), (9). Алгоритм решения задачи (8), (9) заключается в решении задач (13) и (14) методом прогонки [3], вычислении yN по формуле (20) и подстановке их в формулу (12). В силу условий на коэффициенты в задачах (13) и (14) метод прогонки при их решении будет устойчивым, погрешность в исходных данных не будет возрастать.

Изложенный выше метод можно использовать для нахождения решения задачи (1), (2) с более высоким порядком точности по шагу h.