Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

PROBABILITY MATHEMATICAL MODEL OF INITIAL RELIABILITY ASSESSMENT OF BENT ELEMENTS, REINFORCED DISCONTINUOUS FIBERS

Korneev A.M. 1 Buzina O.P. 1 Sukhanov A.V. 1 Shipulin I.A. 1
1 Federal State Educational Institution of Higher Education Lipetsk State Technical University
The article describes the main provisions of probabilistic mathematical model to assess the reliability of bent elements, steel-reinforced dispersion-discrete fibers with a single limb at both ends («Dramix»). The authors, based on a mathematical nonlinear deformation model developed probabilistic algorithm and a computer program to assess the reliability of fiber concretes beams, flexural, taking into account physical nonlinearity of materials, which implements the method of statistical modeling. Probability calculation is to determine the statistical characteristics of strength, stiffness and fracture study design elements during a large number of statistical tests associated with modeling initial random quantities – prism strength matrix ultimate strength tensile fibers, the angle of orientation of the fibers and their incorporation. As a result, the program outputs the reliability indexes bent elements, reinforced with steel discrete fibers for strength, stiffness and fracture toughness. These figures allow us to judge about the serviceability of the study of structural elements.
probabilistic mathematical model
statistical modeling method
random variable
discrete fiber
reliability of the design element
1. Kovalenko G.V., Samarin Yu.A., Mitasov V.M. Otsenka nadezhnosti napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya rebristyh plit razlichnyimi raschetnyimi modelyami // Izv. VUZov. Stroitelstvo i arkhitektura. 1990. no. 11. рр. 116–121.
2. Korneev A.M., Buzina O.P., Sukhanov A.V. Determinirivannaya matematicheskaya model i algoritm analiza napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izgibayemyih elementov s diskretnyimi voloknami // Sovremennyie naukoyomkiye tekhnologii. 2016. no. 9–1. рр. 57–62.
3. Raizer V.D. Teoriya nadyozhnosti v stroitelnom proyektirovanii: Monografiya // Izd-vo ASV. Moskva, 1998, pp. 304.
4. Samarin Yu.A., Kovalenko G.V., Orlov M.T. Rezervyi nadyozhnosti I dolgovechnosti zhelezobetonniyh konstruktsiyi zavodskogo izgotovleniya // Informenergo. Moskva, 1988, pp. 44.
5. Chernousov R.N., Chernousov N.N. Izgibayemyiye stalefibroshlakobetonnyiye elementyi // Beton i zhelezobeton. 2010. no. 4. рр. 7–11.
6. Billinton R. Reliabillity evaluation of engineering systems: Concepts a technicues 2nd ed. // Plenum. New York, 1992, pp. 453.
7. Spaete G. Die Sicherheit tragender Baukonstruktionen // VEB Verlag fur Bauwesen. Berlin, 1987, 248 р.

Конструкции, армированные дискретными волокнами, должны быть обеспечены с требуемой надежностью от возникновения всех видов предельных состояний расчетом, выбором показателей качества материалов, назначением размеров и конструированием согласно указаниям СНиП 52-01 и СП 52-104 2006*. Учет влияния технологических факторов и их изменчивости на надежность конструкций может быть выполнен только с помощью вероятностных расчетов, учитывающих взаимодействие случайных величин, – следовательно, разработка вероятностного алгоритма представляет собой одну из главных задач в организации системы контроля качества выпускаемой продукции. Кроме того, разработка вероятностных алгоритмов и написание программы по оценке надежности элементов конструкций необходимы для выполнения численного моделирования по изучению влияния изменчивости разных технологических факторов на их эксплуатационную пригодность.

Испытания конструкций дают возможность оценить их пригодность по нескольким группам предельных состояний: по прочности, по жесткости и по трещиностойкости. Соответственно, в качестве основных критериев при оценке эксплуатационной пригодности [1, 3, 4] изгибаемых элементов принимают, как правило, следующие показатели:

а) по прочности дисперсно-армированного бетона (среднее значение нагрузки F при испытаниях не должно быть ниже заданной максимальной нагрузки Fult):

korneev01.wmf (1)

б) по жесткости (среднее значение прогиба f изгибаемого элемента не должно превышать критического fult):

korneev02.wmf (2)

в) по трещиностойкости (среднее значение величины раскрытия трещины в центральном нормальном сечении изгибаемого элемента acrc не должно превышать критического значения acrc,ult):

korneev03.wmf (3)

Здесь SF, Sf, Sa – среднеквадратичные отклонения соответственно величин F, f, acrc; Φ(x) – функция Лапласа:

korneev04.wmf (4)

Важным вопросом является назначение величин H0, H1, H2, определяющих материалоемкость конструкций. На основании расчетных прочностных характеристик материалов, приведенных в нормах проектирования (ГОСТ 27751-88, СНиП 52-01, СНиП 2.01.07, СП 52-104 2006* и др.) ж/б и ФБ конструкций, уровни надежности по каждому предельному состоянию варьируются от 0,8 до 0,98. Согласно работам [3, 4] можно принять за требуемые следующие значения величин H0 = 0,95, H1 = 0,95, H2 = 0,90.

Большинство теоретических исследований [3, 4, 7] в области оценки надежности ж/б конструкций показывают, что наиболее эффективными методами для разработки вероятностных алгоритмов являются методы: линеаризации функций, статистического моделирования (Монте-Карло), статистических испытаний. Метод статистического моделирования – это численный вероятностно-статистический метод решения математических задач, основанный на многократном моделировании случайных величин или процессов и последующем построении статистических оценок для искомых величин.

При использовании метода статистического моделирования [3, 7] производится достаточно большое число (n = 10000...30000) статистических испытаний по схеме Бернулли, т.е. при каждом испытании генерируются случайные реализации всех исходных величин согласно их плотности распределения вероятностей.

При разыгрывании случайных величин на ЭВМ используется стандартная функция rand(x) для генерирования случайных равномерно распределенных чисел в интервале [0; 1]. Для получения случайных чисел с нормальным законом распределения [3] при математическом ожидании М = 0 и дисперсии D = l могут использоваться следующие зависимости:

korneev05.wmf (5)

где γ1, γ2 – два независимых случайных числа с равномерным распределением; ξ1, ξ2 – два сопряженных числа с нормальным законом распределения (математическое ожидание М = 0 и дисперсия D = l).

Для исходных случайных величин с конкретным значением M и D перерасчет производится по формуле

korneev06.wmf. (6)

Далее с учетом полученных исходных величин по основной, математической модели производится N раз детерминированный расчет, т.е. расчет элементов по прочности бетона, расчет прогиба и ширины раскрытия трещин. Сравнение несущей способности с действующими усилиями в изгибаемом элементе определяет одно из возможных состояний системы в целом. Статистическая обработка совокупности таких состояний, число которых измеряется десятками тысяч, позволяет сделать соответствующие прогнозы. Для этого определяются статистические характеристики величин по следующим формулам:

korneev07.wmf

korneev08.wmf korneev09.wmf

korneev10.wmf (7)

Здесь X – случайная величина; M(X) – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины; N – количество испытаний; D(X) – дисперсия случайной величины: S(X) – среднеквадратическое отклонение случайной величины; V(X) – коэффициент вариации случайной величины.

Для статистической обработки и построения плотностей распределения прочностных характеристик матрицы и дискретных волокон использовался разработанный комплекс программ по оценке напряженно-деформированного состояния и оценки надежности изгибаемых элементов (SFRC.exe). Каждая характеристика при своем коэффициенте вариации разыгрывалась по 2·105 раз.

Экспериментальные исследования прочностных характеристик бетонов [5] позволили определить величину вариации призменной прочности бетона V(Rb); для разного класса и составов бетона значения коэффициента вариации лежали в пределах от 10 до 16 %.

pic_22.tif pic_23.tif pic_24.tif

а б в

Рис. 1. Гистограммы плотностей распределения прочности бетона при различных коэффициентах вариации: а – V = 10 %; б – V = 13 %; в – V = 16 %

pic_25.tif pic_26.tif pic_27.tif

а б в

Рис. 2. Гистограммы плотностей распределения прочности стальных волокон при различных коэффициентах вариации: а – V = 4 %; б – V = 6 %; в – V = 8 %

pic_28.tif

Рис. 3. Первые 104 результатов моделирования значений угла ориентации дискретного волокна в нормальном сечении изгибаемого элемента

pic_29.tif

Рис. 4. Алгоритм программы SFRC – оценка надежности изгибаемых элементов, армированных дискретными волокнами, на основе вероятностной математической модели (часть 1)

pic_30.tif

Рис. 5. Алгоритм программы SFRC – оценка надежности изгибаемых элементов, армированных дискретными волокнами, на основе вероятностной математической модели (часть 2)

Результаты 2·105 разыгрываний призменной прочности бетона при коэффициентах вариации: V(Rb) = 10 %, V(Rb) = 13 %, и V(Rb) = 16 % представлены в виде гистограмм на рис. 1. Среднее значение прочности бетона Rb = 29,5 МПа.

Коэффициент вариации предельной прочности фибры при растяжении оказался равным V(Rf) ≈ 4–8 %. Результаты 2·105 разыгрываний предельной прочности стального волокна при коэффициентах вариации: V(Rf) = 4 %, V(Rf) = 6 %, и V(Rf) = 8 % представлены в виде гистограмм на рис. 2. Среднее значение предельной прочности волокна Rf = 1100 МПа.

Анализ экспериментальных образцов после испытаний натурных конструкций из фибробетона [5] позволил определить величину среднеквадратичного отклонения угла ориентации волокон в нормальном сечении образцов: S(θ) ≈ 0,45 рад. На рис. 3 приведены результаты первых 104 разыгрываний угла ориентации дискретного волокна. Среднее значение угла ориентации волокна θ = 0 рад.

Распределение значений длин заделки дискретных волокон относительно нормального сечения изгибаемого элемента принято равномерным со средним значением, равным 15 мм, и крайними значениями 0 и 30 мм.

При сопоставлении фактических и теоретических значений основных статистических характеристик призменной прочности бетона, прочности волокон, их ориентации и положения относительно нормального сечения изгибаемого элемента можно отметить, что фактические значения, полученные по результатам численного моделирования, достаточно близки к теоретическим: расхождения составляют 2–4 %.

На основе математической нелинейно-деформационной модели разработаны вероятностный алгоритм и программа для ЭВМ по оценке надежности фибробетонных балок, работающих на изгиб, с учетом физической нелинейности материалов «SFRC.exe», которая реализует метод статистического моделирования. Вероятностный расчет состоит в определении статистических характеристик прочности, жесткости и трещиностойкости исследуемых элементов конструкции при проведении большого количества статистических испытаний, связанных с моделированием исходных случайных величин. Для определения этих характеристик на каждом этапе разыгрываний проводится детерминированный расчет по нелинейно-деформационной модели [2]. В результате программа выдает показатели надежности изгибаемых элементов, армированных стальными дискретными волокнами, по прочности, жесткости и трещиностойкости. Данные показатели позволяют судить об эксплуатационной пригодности исследуемых элементов конструкций. Блок-схема алгоритма программы представлена на рис. 4 и 5.