В состав Дальневосточного экономического региона входят 9 субъектов Федерации: Республика Саха, Приморский, Хабаровский и Камчатский края, Амурская, Магаданская и Сахалинская области, Еврейская автономная область и Чукотский автономный округ. В каждом из них имеется несколько угольных месторождений. Например, в Приморском крае имеется 6 угольных месторождений: Бикино-Уссурийское, Ханкайское, Угловское, Партизанское, Раздольненское. На каждом угольном месторождении имеется несколько шахт и разрезов. Например, на Раздольненском месторождении имеются следующие шахты и разрезы: Липовецкий, Ильичёвский, Константиновский, Уссурийский и Алексее-Никольский [1, 2].
Следовательно, объект управления угольной промышленностью на уровне региона можно представить в виде трёхуровневой иерархической структуры (см. рисунок): регион – субъекты Федерации – угольные месторождения. В свою очередь и субъект управления тоже может быть представлен в виде трёхуровневой иерархической структуры: регион (1-й уровень) управляет субъектами Федерации, субъект Федерации (2-й уровень) управляет угольными месторождениями, которые (3-й уровень) управляют шахтами и разрезами.
Такое описание объекта и субъекта управления в угольной промышленности на уровне региона позволяет рассматривать данную трёхуровневую иерархическую структуру управления как бы состоящую из конечного числа двухуровневых подсистем, в которых на верхнем уровне (на первом и втором уровнях) имеются по одному элементу, а на соответственно нижнем уровне (на втором и третьем уровнях) имеется по несколько элементов, причём каждый из них связан с одним и только с одним элементом на верхнем уровне. Это означает, что общая задача управления в угольной промышленности на уровне региона разбивается на ряд локальных (двухуровневых) подзадач, решаемых соответствующими органами управления. В работе [3] была рассмотрена постановка задачи управления в системе с двухуровневой иерархической структурой и разработаны итеративные и безытеративные алгоритмы координации в таких системах. Теперь попытаемся обобщить полученные результаты и для иерархических систем, в которых имеется больше чем два уровня (на примере региона с трёхуровневой иерархической структурой).
Представленная на рисунке иерархическая структура имеет К = 3 уровня, на каждом из которых содержится по Nk элементов, где 
(N1 = 1, N2 = 5, N3 = 11). Каждый элемент k-го уровня, начиная со второго, связан с одним и только с одним элементом вышестоящего уровня. Это позволяет ввести обозначение множества 
, соответствующее множеству индексов элементов (k + 1)-го уровня, относящихся к элементу (k, i) – i-й элемент k-го уровня. (На рисунке имеем, что 
, 
, J22 = {4; 5}, J23 = {6; 7}, J24 = {8}, J25 = {9; 10; 11}).
Для множества Jki справедливы свойства:
при 
.
Далее будем считать, что состояние элемента (k, i) характеризуется вектором xki, где 
, передаваемые на верхний уровень показатели этого элемента обозначаются вектором 
, а 
является векторным критерием элемента.
Взаимосвязь между элементами на разных уровнях задаётся следующим соотношением:
, (1)
(на рисунке 
, 
и т.д.). Согласно введённым обозначениям, состояние элемента (k, i) определяется совокупным вектором показателей элементов (k + 1)-го уровня, относящихся к элементу (k, i).
Укажем ограничения, которым должны удовлетворять векторы xki.
Для K-го (самого нижнего) уровня ограничения записываются в виде
, (2)
где XKi – некоторые множества.
Векторы xki, где 
, должны удовлетворять ограничениям
, (3)
где
; 
,
где Hki – вектор функции; bki – векторы.
Система элементов трёхуровневой иерархической структуры
Так, например, для элемента при k = 2 и i = 1 имеем: 
;
;
.
В связи с совпадением целевых функций системы и элемента первого уровня их можно записать как
. (4)
Данные теоретические изложения показывают, что формализация задачи управления в системе с многоуровневой иерархической структурой является задача (1)–(4). А в работе [4] показано, что такие задачи имеют решение в виде
.
Для решения данной задачи, аналогично, как и для двухуровневых иерархических систем, введём следующее предположение: для элементов всех уровней, начиная со второго, выполняются условия
,
где 
– множество Парето задачи векторной оптимизации
, 
, 
, 
,
где Фki – векторный критерий элемента (k, i).
Чтобы вводимое предположение выполнялось достаточно задать условия в виде следующего утверждения: пусть для функций Нki и Fki выполняются следующие условия монотонности:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
И если положить, что
,
то этого вполне достаточно, чтобы убедиться в справедливости вводимого предположения, т.е. вектор показателей выбрать в качестве векторного критерия элементов.
Если считать, что вводимое предположение не выполняется, то существует элемент 
(при доказательстве данного утверждения будем считать, что i0 = 1), для которого найдётся такая точка 
, что 
. Но поскольку 
, тогда найдутся элементы 
, такие, что 
.
И если теперь из точки 
опускаться вниз по пирамиде, то неизбежно обнаружим, что существуют допустимые векторы 
, позволяющие достигнуть вектор 
.
При движении по пирамиде вверх от элемента (k0, 1) на вышестоящие уровни 
, на каждом из них тоже будут элементы с первыми номерами в пределах своего уровня: 
, 
, ...,(2, 1), (1, 1).
Рассмотрим точку
.
Но поскольку 
, то из этого следует, что 
. А из условий монотонности (см. утверждение) вытекает, что 
и 
. А это соответствует тому, что 
.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что существует некоторая точка 
, 
и что выполняется 
. А это противоречит оптимальности точки 
.
В работе [3] осуществлена математическая постановка задачи управления в системе с двухуровневой иерархической структурой, и предложены безытеративный и итеративный алгоритмы координации в качестве решения данной задачи. При безытеративном алгоритме координации происходит однократный обмен информацией между уровнями. При итеративном алгоритме координации оптимальное решение определяется в ходе многократного обмена информацией между уровнями.
Теперь попытаемся обобщить эти методы решения и для задач управления в системах с многоуровневой иерархической структурой.
Безытеративный алгоритм координации. Для элементов самого нижнего K-го уровня вводятся в рассмотрение задачи векторной оптимизации
. (5)
Предположим, что вектор
является вектором решения задачи. Подымаясь по пирамиде вверх на (K–1)-й уровень, передаётся множество QKi, которое является подмножеством множества SKi. В частности, может быть QKi = SKi.
Укажем несколько возможных вариантов задания множества QKi [4, 5].
1. Если множество XKi состоит из конечного числа точек, то подмножество QKi также состоит из конечного числа точек. При небольшом количестве точек QKi = SKi. В противном случае методами кластерного анализа производится «сжатие» информации, в результате чего передаваемое подмножество QKi будет содержать заданное число точек.
2. Задача векторной оптимизации (5) является задачей многокритериального линейного программирования, а показатели 
также являются линейными функциями. Тогда в качестве подмножества QKi можно использовать линейную комбинацию эффективных крайних точек многогранника 
[6].
3. В случае, когда задача (5) является нелинейной многокритериальной задачей, можно аппроксимировать множество SKi конечной ε-сетью или проводить многогранную аппроксимацию.
Для элементов на уровнях K–1, ...,3, 2 вводятся задачи векторной оптимизации:
где
. (6)
Решая эти задачи, формируют подмножества Qki, являющиеся аппроксимацией множеств 
.
Рассмотрим несколько частных случаев задачи (6).
1. Пусть подмножества 
состоят из конечного числа точек, а функции Фki и Hki являются линейными. Тогда задача (6) является задачей многокритериального целочисленного программирования:
где 
– конечные множества, 
– прямоугольная матрица, 
– невырожденная подматрица (базис) матрицы (
), где I – квадратная единичная матрица [7].
2. Подмножества 
являются многогранниками, заданными своими вершинами 
, где 
.
По-прежнему считая функции Фki и Нki линейными, получим задачу многокритериального линейного программирования:
.
Подымаясь по пирамиде вверх и оказавшись на самом верхнем, первом уровне, решается обычная задача математического программирования:
Итеративный алгоритм координации. На примере многоуровневой иерархической системы, приведённой на рисунке, покажем схему итеративного алгоритма координации. Пусть 
– вырабатываемый элементом самого верхнего, первого уровня координирующий сигнал, который посылается элементам второго уровня. После получения элементом (2, i), i∈[1, 5] координирующего сигнала ω2i, условием оптимальности функционирования можно представить в виде следующей задачи:
. (7)
Заметим, что задача (7) является рассмотренной в работе [3] задачей координации в двухуровневой системе, поэтому процедура решения заключается в том, что элементам третьего уровня координирующие сигналы формирует элемент (2, i). Эти координирующие сигналы позволяют осуществить свёртку многокритериальных задач элементов третьего уровня в задачи математического программирования:
(8)
На основе полученных результатов при решении задач (8) элемент (2, i) решает координирующую задачу и вырабатывает новые координирующие сигналы для элементов третьего уровня. В результате итеративного обмена информацией между элементом (2, i) и подчинёнными ему элементами третьего уровня определяется решение задачи (7), которое зависит от координирующего сигнала ω2i.
Далее уже на самом первом уровне формируется и решается координирующая задача элемента, в результате чего появляется новое значение координирующего сигнала ω1. Когда элементы (2, i) получат этот сигнал, то они начинают вновь решать задачи координации подчинённых им элементов из третьей группы. И этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный координирующий сигнал ω1*.
В работе показана возможность применения известных алгоритмов решения задач координации для трёхуровневых систем, состоящих из конечного числа двухуровневых подсистем (элементов). В зависимости от задания множества значений, описывающих состояние элементов в трёхуровневой системе, задачи координации могут быть представлены в виде задач целочисленного, линейного и математического программирования. А для таких задач разработаны и широко применяются на практике эффективные методы решения.