Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

WORK OF FORCES IN AN ELECTRIC FIELD OF A DOT (SPHERICAL) CHARGE.

Иванов Е.М

Work of moving of a dot charge q in a field of a dot (spherical) charge Q is considered. In case of charges of one sign the charge q under action of force Кулона Fk will leave from Q. Work of force f, where r01. For moving a charge in the opposite direction work A of foreign force F always is more A0. Only in case of action of instant (pulse) foreign force A → A0. Work of two foreign forces is necessary for moving a charge on an arch of a circle for a line: holding (numerically equal force Kulona) and moving.

Рассмотрим взаимодействие двух сферических зарядов Q и q, радиусы которых много меньше расстояния между ними r0 (рис.1). заряд Q будем считать неподвижным. Сила взаимодействия между зарядами определяется законом Кулона: f, где f. В случае одноименных зарядов будет удаляться от Q. Уравнение движения будет иметь вид:

f                (1)

Если в точке r0 начальная скорость V0=0, то последовательно находим:

f                        (2)

f               (3)

Работа перемещения от r0 до r1 может быть определена несколькими способами:

f                         (4)

где f - потенциал электрического поля. Это же выражение может быть получено на основе соотношения: f, где f - кинетическая энергия, f - потенциальная энергия.

В работах [1-4] показано, что работу можно также вычислить, используя импульс силы f:

f,        где    f      (5)

Величина dt определяется выражением (2),  tk- время перемещения от r0 до r1. Интегрируя и вычисляя I2, получим то же самое выражение (4).

Чтобы переместить заряд q обратно из точки r1 в r0, необходимо приложить стороннюю силу F, большую, чем кулоновская сила Fk, и направленную в противоположную сторону.

СЛУЧАЙ I. Сторонняя сила F больше кулоновской на постоянную величину ΔF: f, где f. Тогда уравнение движения запишется в виде:

f                    (6)

Под действием силы Δзаряд будет совершать равноускоренное движение:

f, f.

Импульсы сил, действующих на тело:

f, f, f

где f. Суммарная работа, совершаемая всеми силами:

f      (7)

Работа, совершаемая кулоновской силой:

f                 (8)

Работа, совершаемая сторонней силой:

f                       (9)

Отдельные составляющие работы этих сил:

f;

f

f; f

Работа f имеет минимум, соответствующий значению силы:

f                   (10)

ПРИМЕР. Рассмотрим взаимодействие двух точечных зарядов (электронов): f Kл; f кг; f Н·м2/Кл2; f м; f м.

При свободном движении от r0 до r1 работа, определяемая выражением (4), будет равна А0 = 2,3·10-18 Дж. Сила F0 = kq2/r  = 0,9216·10-7H. Для перемещения заряда в обратном направлении приложим стороннюю силу F = F1+ΔF, где ΔF=1·10-7 Н. Работа, совершаемая сторонней силой, будет равна, согласно выражению (9):

А+=(0,4015+3,02+5)·10-18=8,42·10-18Дж,                                                       

что в 3,66 раз больше А0. Работа, совершаемая кулоновской силой (8):

A-=-5,402·10-18 Дж.

Суммарная работа (7) АΣ  = А- + А+ = 3,018 · 10-18Дж,  как и работа А0, соответствует кинетической энергии, приобретенной зарядом после перемещения. Найдем минимальную работу А+, соответствующую силе ΔF*  = 0,3527·10-7 Н, по формуле (9) А+min  = (1,138 + 3,02 + 1,763) · 10-18 = 5,92 · ·10-18 Дж, что в 2,57 раз больше А0.

СЛУЧАЙ 2. Сторонняя сила больше кулоновской на некоторый постоянный коэффициент β. Тогда силы, действующие на заряд q, можно записать в виде F = Fk - F2 - F1 = Fk - βFk - F1, где F1 = |Fk|. Под действием силы F2 = βFk заряд будет совершать ускоренное движение от r1 к r0. При нулевой начальной скорости, решая уравнение движения, последовательно находим:

f;   f                       (11)

f                   (12)

f               (13)

Импульсы сил при движении заряда q от r1 к r0 по модулю следующими выражениями:

f;   f                   (14)

Работа сторонней силы:

f               (15)

Работа кулоновской силы:

    f                                (16)

Выражение (15) имеет минимум при β=1 (рис.2):

f,                    (17)

что в 4 раза больше работы А0 при свободном движении заряда (4). При этом работа кулоновской силы А - = -3А0. При β>>1 работа кулоновской силы стремится к минимальной величине, равной А- = - 2А0 (рис.3).

СЛУЧАЙ III. Для перемещения заряда q от r1 к r0 на него в течение некоторого времени t*  (при перемещении до r* ) действует сила F по схеме, соответствующей случаю II, сообщающая заряду в точке r* кинетическую энергию:

f,                     (18)

которая обеспечивает дальнейшее перемещение заряда q по инерции от r*  к r0. Если в левую часть равенства (18) подставить квадрат скорости, определяемый выражением (12):

f,                  (19)

то можно определить искомую координату:

f                    (20)

и затраченную работу:

f

Используя данные, приведенные в рассмотренном выше примере, произведем расчет по формулам (18) - (21) для ряда значений β. Результаты сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

β

r·1010[м]

f0

f

1

10

100

0,66666

0,91666

0,990196

2

1,1

1,0099

0,5

0,9106

0,99


Из таблицы видно, что с ростом величины β работа сторонней силы А+, затрачиваемая на возврат заряда q из положения r1 в начальное положение r0, стремится к величине А0, определяемой выражением (4) для случая свободного движения заряда q от r0 к r1  под действием кулоновской силы. Идеальным вариантом этого случая является действие мгновенной силы, для чего следует устремит время действия силы t* → 0, а величину силы F → ∞. Тогда получим мгновенную силу в виде f, где f - дельта-функция Дирака [5]. Единичный импульс силы будет равен f , где V1 определяется выражением (4) для случая нулевой начальной скорости V0 = 0:

f

СЛУЧАЙ IV. Рассмотрим переме-щение заряда q по дуге S окружности радиуса r0. Если использовать выражение для работы (4) с использованием потенциала электрического поля As=f , то формально получим As = 0, так как f, где а - начальная точка на дуге S, b - конечная точка на той же дуге. Но это неверное заключение, не работа As=0, а ЭТА РАБОТА НЕ МОЖЕТ БЫТЬ СОВЕРШЕНА СИЛАМИ ДАННОГО ПОЛЯ. Для перемещения заряда q по дуге окружности необходимо действие двух сторонних сил: удерживающей силы f, которая равна, но противоположно направлена кулоновской силе,  и перемещающей силе FТ, направленную по касательной. Работа постоянной перемещающей силы FТ f, где t - время перемещения. Поскольку силы FT и Fу взаимно перпендикулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. суммарная работа f.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и I закон термодинамики. // Фундаментальные исследования, №8,2005,с.11.
  2. Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением. // Фундаментальные исследования, №6,2005,с.10.
  3. Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения. // Успехи современного естествознания, №8,23005, с.10.
  4. Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и первый закон термодинамики. Димитровград, ДИТУД УлГТУ, 2005.
  5. Арсенин В.Я. Математическая физика. М.: Наука, 1966.