Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ТЕОРИЯ СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В ФЕРРОМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ T2g-ИОНЫ

Борлаков Х.Ш. 1 Борлакова А.Х. 1 Биджиев А.А. 1 Китова К.С. 1
1 ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказская государственная гуманитарно-технологическая академия» Минобрнауки России
Метод локальной (узельной) матрицы плотности применен для построения теории спин-орбитального фазового перехода при ферромагнитном упорядочении спинов в кубическом кристалле. Показано, что параметр порядка, описывающий появление узельных токов на узлах с ян-теллеровскими T2g-ионами, пропорционален компонентам орбитальной части вектора спонтанной намагниченности. Для различных возможных типов осей легкого намагничивания установлена взаимосвязь между компонентами параметра порядка и вероятностями заселения каждого из состояний орбитального триплета. Показано, что появление орбитальной намагниченности совместимо с возможностью существования одновременного зарядового упорядочения на тех же узлах. Сформулированы необходимые условия сосуществования орбитального магнетизма и зарядового упорядочения на узлах, занятых T2g-ионами. Результаты теоретического анализа сравнены с экспериментальными данными для феррита-шпинели Fe2TiO4.
изотропная магнитная фаза
матрица плотности
орбитальное упорядочение
теория Ландау фазовых переходов
ульвошпинель
1. Борлаков Х.Ш. Об одном следствии из гипотезы о существовании спин-орбитальных фазовых переходов // Физика металлов и металловедение. – 1999. – Т. 88. – № 1. – С. 19–27.
2. Борлаков Х.Ш. Изменение физических свойств и симметрии кристаллической решетки никеля при изменении температуры // Кристаллография. – 2001. – Т. 46. – № 1. – С. 88–91.
3. Гурин О.В., Будрина Г.Л., Сыромятников В.Н., Термодинамическое описание фазовых переходов в кристаллах с вырожденными локализованными уровнями // ЖЭТФ. – 1989. – Т. 95, Вып. 4. – С. 770–775.
4. Кугель К.И., Хомский Д.И. Эффект Яна-Теллера и магнетизм: соединения переходных металлов // УФН. – 1982. – Т. 136, № 4. – С. 621–664.
5. Сахненко В.П., Таланов В.М., Чечин Г.М. Теоретико-групповой анализ полного конденсата, возникающего при структурных фазовых переходах // ФММ. – 1986. – 62, № 5. – С. 847–856.
6. Blum Karl, Density Matrix Theory and Applications. – New York: Plenum Press, 1996. – 323 p.
7. Goodenough, J.B., Magnetism and Chemical Bond. – N. Y.–Lnd., Interscience Publ., 1963.
8. Ishikawa Y., Sato S., Syono Y. Neutron and Magnetic Studies of a Single Crystal of Fe2TiO4 // Journ. Phys. Soc. Jap. – 1971. – Vol. 31, № 2. – Р. 452–460.
9. Kataoka M. Theory of the Giant Magnetostriction in Fe2TiO4 // Journ. Phys. Soc. Jap. – 1974. – Vol. 36, № 2. – P. 456–463.
10. Krupichka S. Physik der Ferrite. – Band 1–2, Prag, Academia, 1973.
11. Nakamura Sh. and Fuva A. Local and dynamic Jahn-Teller distortion in ulvospinel Fe2TiO4 // Hyperfine Interactions April. – 2014. – Vol. 226, Issue 1–3. – P. 267–274.
12. Onyszkiewicz I., Malafaev N.T., Murakhovskii A.A., Pietrzak J. Magnetic EMR Ivestigation of the Structural Phase Transition in Cu-Ferrite with Cooperative Jahn-Teller Effect // Physica. status. solidi. A. – 1982. – Vol. 73. – P. K243–K247.

Ранее, в работах [1, 2] и ряде других публикаций одного из авторов данной работы была построена общая феноменологическая теория магнитных фазовых переходов (ФП) в 3d-элементах и их магнитных соединениях. Было показано, что в этих кристаллах магнитная анизотропия возникает не в точке Кюри – Нееля (при Т = Тc), а при более низкой температуре Т = Тls, так, что в интервале Tls < Т < Tc существует магнитная фаза без анизотропии, свойства которой обусловлены только обменными взаимодействиями. В простейшем случае ферромагнетика намагниченность можно представить в виде суммы двух слагаемых borlakov01.wmf где borlakov02.wmf – спиновая (обменная) часть, borlakov03.wmf – вклад в намагниченность, обусловленный релятивистскими взаимодействиями. В парамагнитной фазе оба этих слагаемых равны нулю, а ниже точки Кюри возникает чисто спиновая часть borlakov04.wmf, причем вектор borlakov05.wmf является критическим параметром порядка (ПП) для перехода в точке Кюри. Вклад релятивистских взаимодействий в намагниченность borlakov06.wmf возникает в точке перехода в анизотропную фазу Tls, а вектор borlakov07.wmf является критическим ПП для перехода из изотропной фазы в анизотропную. На кривой температурной зависимости намагниченности М(Т) включение орбитального вклада с(Т) ниже температуры Tls должно отобразиться в виде появления на графике «горбика» в окрестности точки T = Tls, если орбитальный вклад направлен по направлению вектора borlakov08.wmf и «впадины», если направление орбитального вклада противоположно. И действительно, для кристалла медного феррита CuFe2O4 – типичного обменного магнетика, на экспериментальной кривой М(Т) при температуре перехода из кубической (изотропной) в тетрагональную (анизотропную) фазу имеется хорошо выраженный «горбик» [12].

Предложенная в [1, 2] теория носила чисто феноменологический характер и не учитывала какой-либо специфики того, что при спин-орбитальном переходе происходит упорядочение орбиталей, вызывающее появление орбитальных токов и, как следствие, орбитального магнитного момента, вносящего вклад в намагниченность. В данной работе мы имеем намерение связать орбитальный вклад в намагниченность с квантовомеханическими величинами, описывающими орбитальное упорядочение, и с орбитальными токами. Анализ механизма кооперативного спин-орбитального эффекта рассмотрим на примере кристаллов со структурой шпинели. Весьма показателен в этом отношении феррит титана (ульвошпинель) Fe2TiO4. В точке Кюри – Нееля при Тс = 147 К кристалл ульвошпинели переходит в магнитоупорядоченное состояние – становится Неелевским антиферромагнетиком. При TJT = 115 K кристалл испытывает структурный переход из кубической фазы в тетрагональную, который сопровождается резким увеличением магнитной анизотропии и появлением слабого ферромагнетизма [8]. Принято считать [9, 11] переход при TJT = 115 K ян-теллеровским переходом, обусловленным двухвалентными ионами железа. При T2 = 77 K кристалл испытывает еще один структурный переход из тетрагональной в моноклинную фазу [6]. Катионное распределение в ульвошпинели имеет следующий вид: Fe+2[Fe+2Ti+4]O–24. При таком распределении катионов ян-теллеровскими являются ионы железа и в тетраэдрической, и в октаэдрической подрешетках. При этом катионы Fe+2 в октаэдрической подрешетке имеют трехкратно вырожденные орбитальные состояния, а ионы в тетраэдрической подрешетке являются eg-ионами [10]. Таким образом, в последовательности фазовых переходов, происходящих в ульвошпинели, спиновое и орбитальное упорядочение, а также их взаимовлияние играет самую непосредственную роль. Обратимся к подробному рассмотрению этого вопроса.

Кристаллы со структурой шпинели характеризуются в парамагнитной фазе ОЦК решеткой, симметрия которой описывается пространственной группой borlakov09.wmf. Симметрия кристаллической решетки сохраняется и в изотропной магнитной фазе и изменяется только ниже точки спин-орбитального фазового перехода. Переход из изотропной в анизотропную ферромагнитную фазу описывается трехмерным ПП borlakov10.wmf [1], который преобразуется по неприводимому представлению (НП) F1g группы симметрии кристалла borlakov11.wmf. Для корректного описания ФП, связанных с изменением квантовых орбитальных состояний 3d-электронов, ПП должен быть выражен через элементы матрицы плотности [3].

Состояния ян-телллеровского (ЯТ-)иона, находящегося в постоянном взаимодействии с кристаллом, по общим правилам квантовой механики должны описываться с помощью матрицы плотности, оператор которой в собственном базисе имеет вид [3, 6]

borlakov12.wmf

ρik = wiδik borlakov13.wmf (1)

где δik – символ Кронеккера; borlakov14.wmf – собственные векторы borlakov15.wmf; wi – вероятности пребывания ЯТ-иона в состояниях borlakov16.wmf; ρik = wiδik – матричные элементы. В исходной фазе вероятности заселенностей wi всех n состояний одинаковы: wi = 1/n, поэтому borlakov17.wmf, т.е. в исходной фазе матрица плотности пропорциональна единичной. Поэтому в низкосимметричной фазе borlakov18.wmf можно записать так:

borlakov19.wmf (2)

где borlakov20.wmf – единичная n×n-матрица, а второе слагаемое borlakov21.wmf – бесследная часть оператора borlakov22.wmf, возникающая ниже точки ФП, причем borlakov23.wmf. Величина borlakov24.wmf, согласно (2) описывает появление новых свойств в низкосимметричной фазе. Для любой бесследной эрмитовой n×n-матрицы существует линейно-независимый набор бесследных n×n-матриц borlakov25.wmf, по которым ее можно разложить [3, 6]:

borlakov26.wmf (3)

где borlakov27.wmf

где α – номер НП, входящего в тензорное (ян-теллеровское) представление, реализующееся на Δρik. Размерность s легко вычислить. В общем случае комплексная n×n-матрица зависит от 2n2 произвольных действительных параметров. Условие равенства нулю следа матрицы и n2 условий эрмитовости дают s = 2n2 – n2 – 1 = n2 – 1. Следовательно, многомерный ПП borlakov28.wmf, описывающий снятие вырождения и упорядочение T2g-орбиталей, имеет 8 компонент. Так как у кубической группы Oh нет НП с размерностями больше 3-х, borlakov29.wmf преобразуется по приводимому представлению и из его компонент можно выделить неприводимые составляющие. Ниже мы приведем результат такого анализа.

Нам необходимо связать ηα с вероятностями занятия орбитальных состояний wi. Для этого следует в (1) перейти от собственного базиса borlakov30.wmf к произвольному ортонормированному базису borlakov31.wmf с помощью некоторого унитарного преобразования borlakov32.wmf: borlakov33.wmf. Тогда матричные элементы оператора borlakov34.wmf будут выражены через вероятности wi и матричные элементы унитарного оператора borlakov35.wmf

borlakov36.wmf (4)

Выразим матрицу borlakov37.wmf, по формулам (2), (3) задавая явный вид базисных матриц borlakov38.wmf. В качестве базисных 3×3 матриц borlakov39.wmf [3, 6]:

borlakov40.wmf borlakov41.wmf

borlakov42.wmf borlakov43.wmf (5)

borlakov44.wmf borlakov45.wmf

borlakov46.wmf

Как следствие, получаем следующие уравнения связи ηα с wi и Uij:

borlakov47.wmf

borlakov48.wmf

borlakov49.wmf (6)

borlakov50.wmf

borlakov51.wmf

borlakov52.wmf

borlakov53.wmf

В качестве базисных электронных волновых функций трехкратно вырожденного Т2g-уровня обычно выбирают набор вещественных волновых функций φ1, φ2, φ3, определяемых соотношениями

r2φ1 = yz; r2φ2 = zx; r2φ3 = xy. (7)

Итак, мы имеем восемь компонент приводимого ПП borlakov54.wmf. Какие из них соответствуют ферромагнитному переходу по НП F1g? Для ответа на этот вопрос надо разложить приводимое представление Γ(η) по НП группы Oh. Используя метод приводящей матрицы в применении к образам генераторов группы Oh и приведя их к блочно-диагональной форме, мы получили следующее разложение исходного представления на два трехмерных и двукратное одномерное

borlakov55.wmf (8)

Как показал наш анализ, по псевдовекторному НП F1g преобразуется трехкомпонентный вектор borlakov56.wmf. По НП F2g преобразуется еще один трехкомпонентный вектор borlakov57.wmf. Наконец, две компоненты η1 и η2 восьмимерного ПП borlakov58.wmf преобразуются независимо друг от друга – по одному и тому же одномерному НП A2g. Физическая роль НП, входящих в правую часть разложения (8), совершенно различна. ПП borlakov59.wmf, преобразующийся по НП F1g, определяет всю физику фазового перехода в ближайшей окрестности точки спин-орбитального перехода T = Tls – изменение симметрии кристалла, температурные зависимости основных термодинамических величин. Это критический параметр порядка, и, соответственно, F1g – критическое НП. Остальные НП в правой части (8) описывают сопутствующие фазовому переходу явления – эти НП называются некритическими, а им соответствуют вторичные ПП. Для каждого возможного критического НП можно вычислить сопутствующие ему НП – и этот набор – критическое НП и совокупность некритических НП – образует так называемый полный конденсат [5]. В полный конденсат критического НП F1g, кроме указанных в (8), входят еще двумерное НП Eg и единичное НП A1g. Термодинамика ФП с критическим НП F1g была подробно рассмотрена [1–2], и специфика орбитального упорядочения не привносит в нее ничего нового. Новой является физическая интерпретация явлений, описываемых вторичными параметрами порядка, соответствующим НП F2g и A2g.

Рассмотрим это подробнее. Как было показано в [3], часть компонент ПП borlakov60.wmf описывает изменение плотности заряда на узле, занятом ЯТ-ионом, а другая часть описывает возникновение узельного тока, и эти два набора не пересекаются. Но, как известно уже из курса общей физики, с замкнутым круговым током связан соответствующий магнитный момент этого тока. Поэтому, спин-орбитальный переход в анизотропную магнитную фазу описывается теми из восьми компонент borlakov61.wmf, которые входят в выражение для плотности узельного тока.

Из общей квантовомеханической формулы <А> = Sp(Aρ), примененной к матрице оператора тока

borlakov62.wmf (9)

Получается следующее выражение для плотности среднего узельного тока [10]:

borlakov63.wmf (10)

а базисные токи имеют вид

borlakov64.wmf

borlakov65.wmf

borlakov66.wmf (11)

Аналогичным образом для матрицы оператора плотности заряда с элементами dik = φiφk получается выражение для среднего значения заряда, на узле, занятом ЯТ-ионом:

borlakov67.wmf (12)

Отсюда видно, что в случае действительных волновых функций (7) слагаемые с η678 выпадают из плотности заряда. Конкретная пространственная конфигурация электронного тока на узле определяется координатной зависимостью электронных волновых функций. Так, для тока <J> легко получить, при η6 = η7 = 0, η8 = 1

borlakov68.wmf borlakov69.wmf (13)

Таким образом, спин-орбитальный ФП должен описываться трехмерным ПП borlakov70.wmf. Этот ПП преобразуется по НП F1g и пропорционален классическому ПП borlakov71.wmf, использованному в работах [1, 2].

В работах [1, 2] были найдены магнитоанизотропные фазы (таблица) и проведен термодинамический анализ фазовых превращений, как по критическим степеням свободы, так и по некритическим. Эти результаты остаются в силе и при явном учете орбитальных состояний. Однако теперь мы можем точно вычислить величины орбитальных магнитных моментов и соответствующих им узельных токов для каждой из четырех низкосимметричных фаз, приведенных в таблице. Отметим, что при переходе в тригональную borlakov72.wmf и тетрагональную borlakov73.wmf фазы 3-кратное вырождение орбитального состояния может сниматься не полностью. Может оказаться, что основное состояние ниже перехода – это дублет. Тогда снятие этого вырождения произойдет уже при дальнейшем переходе в моноклинную или триклинную фазы.

Низкосимметричные фазы, индуцированные НП F1g группы borlakov74.wmf

borlakov75.wmf

ccc

occ

coo

c1c2c3

GD

borlakov76.wmf

borlakov77.wmf

borlakov78.wmf

borlakov79.wmf

Данная таблица позволяет получить важную информацию о типах орбитального упорядочения, соответствующих приведенным там низкосимметричным фазам. Модуль параметра порядка borlakov80.wmf имеет размерность намагниченности, а модуль вектора borlakov81.wmf есть величина безразмерная. При этом модуль borlakov82.wmf не превосходит единицы. Поэтому линейная связь между borlakov83.wmf и borlakov84.wmf должна иметь следующий вид:

borlakov85.wmf borlakov86.wmf (14)

где А – константа; n – число примитивных ячеек в единице объема; μB – магнетон Бора. Таким образом, в соответствии с таблицей и соотношением (14) компоненты (η6, η7, η8) восьмимерного ПП borlakov87.wmf принимают вполне определенные значения и подчиняются определенным правилам пропорций, тогда как остальные компоненты равны нулю. Подставляя эти значения (η6, η7, η8) в систему уравнений (6), мы получаем возможность вычислить зависимость вероятностей реализации wi определенных орбитальных состояний от термодинамических параметров, если была определена предварительно зависимость от этих параметров модуля ПП borlakov88.wmf. Кроме вероятностей, из той же системы определяются матричные элементы унитарного оператора borlakov89.wmf. Это позволяет проследить за изменением спинового и орбитального упорядочений в соответствии с изменением значений термодинамических параметров.

Таким образом, метод локальной матрицы плотности позволяет естественным и непротиворечивым образом объединить методы термодинамики и квантовой механики и построить теорию спин-орбитального фазового перехода и тем самым подтвердить гипотезу Гуденафа [7] и Кугеля – Хомского [4] о существовании таких переходов.

Рецензенты:

Диканский Ю.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой общей физики, Северо-Кавказский федеральный университет, г. Ставрополь;

Эдиев Д.М., д.ф.-м.н., профессор кафедры математики, Северо-Кавказская государственная гуманитарно-технологическая академия, г. Черкесск.

 


Библиографическая ссылка

Борлаков Х.Ш., Борлакова А.Х., Биджиев А.А., Китова К.С. ТЕОРИЯ СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В ФЕРРОМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ T2g-ИОНЫ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 7-4. – С. 664-668;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38797 (дата обращения: 13.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074