Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

CONTROL OF BALLISTIC-TYPE SPACECRAFT DURING DEORBITING IN THE SPECIFIED EARTH AREA

Ivanov V.M. 1 Lobachev V.I. 1 Sokolov N.L. 1
1 Central Research Institute of Machine Building
В настоящей работе исследуется энергетически оптимальное управление космическим аппаратом (КА) вектором тяги двигательной установки в процессе проведения межорбитальных маневров. Методической новизной предлагаемого решения является разработка алгоритмов преобразования исходных систем дифференциальных уравнений и формул связи между неизвестными параметрами движения КА и сопряженными переменными. Предложен алгоритм аналитического решения дифференциальных уравнений сопряженных переменных. Это дает возможность разработать дополнительные зависимости, связывающие неизвестные параметры. Наряду с использованием условий трансверсальности в граничных точках траекторий эти преобразования позволяют свести многопараметрическую краевую задачу по поиску оптимальных траекторий движения КА к двухпараметрической. Определена структура оптимального управления вектором тяги двигательной установки. Приводится доказательство, что для широкого диапазона граничных условий, весовых и энергетических характеристик КА максимальное число переключений двигательной установки равно двум. При первом включении реализуется перевод КА с начальной орбиты на промежуточную, имеющую точку пересечения с конечной орбитой, где скорость и радиус вектора КА соответственно равны заданным значениям. При втором включении, осуществляемом в точке пересечения орбит, проводится коррекция траекторного угла. В целом предложенный методологический подход может быть положен в основу решения широкого класса задач оптимизации межорбитальных маневров и коррекций и может быть внедрен в практику проектирования перспективных миссий ближнего и дальнего космоса.
This work is focused on the research of energy optimal scheme of SC thrust vector control during the interorbital maneuvers. The methodological novelty of the proposed decision is development of transformation algorithms for initial systems of differential equations and connection formulae between the unknown parameters of SC motion and conjugate variables. It helps to avoid the above-mentioned difficulties. Thus, the algorithm is proposed for analytical decision of differential equations for the conjugate variables which provides the possibility to determine the structure of optimal control avoiding the complicated calculation procedures. Besides the proof is given of the Hamiltonian identical equality to zero and the conjugate variable corresponding to a subsatellite-point longitude along all the flightpath. It makes possible to elaborate additional dependencies, connecting the unknown parameters in the initial point of trajectory. Along with the use of transversality conditions in the boundary points of trajectories these transformations also allow reducing the multi-parameter boundary problem of the SC optimal trajectory search to the two-parameter one, which provides high level of efficiency during calculation. The structure of thrust vector optimal control is determined. The fact is proved that for a wide range of boundary conditions, weight and power characteristics of SC the maximum number of SC engine burns equals two. At the first burn the SC is transferred from the initial orbit to the interim one, which has a cross point with the final orbit, where velocity and radius-vector of SC are respectively equal to the specified values. At the second burn, in the cross-point of orbits, the trajectory angle is adjusted. On the whole the proposed methodological approach can be used as the basis of wide range of tasks aimed at optimization of interorbital flights and corrections and it can be introduced for the planning of perspective missions of near and outer space.
spacecraft
interorbital maneuvers
minimization of energy consumption
ballistic descent
transform algorithms
accelerated calculation algorithm
1. Avduevskij V.S., Antonov B.M., Anfimov N.A. i dr. Osnovy teorii poleta kosmicheskih apparatov. M.: Mashinostroenie. 1972.
2. Ivanov N.M., Dmitrievskij A.A., Lysenko L.N. Ballistika i navigacija kosmicheskih apparatov. M.: Mashinostroenie. 1986.
3. Letov A.M. Dinamika poleta i upravlenie. M.: Nauka. 1969.
4. Pontrjagin L.S., Boltjanskij V.P., Gamkrelidze R.V., Mishhenko E.F. Matematicheskaja teorija optimal’nyh processov. M. Nauka. 1969.
5. Jel’jasberg P.E. Vvedenie v teoriju poleta iskusstvennyh sputnikov Zemli. M.: Nauka. 1965.

Исследуется управление КА вектором тяги двигательной установки на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ, обеспечивающее минимум расхода топлива. Решение задач оптимального управления КА сопряжено с большими затратами расчетного времени. Поэтому целесообразно использовать быстродействующие квазиоптимальные алгоритмы решения вариационных задач.

Проведенные исследования посвящены разработке таких алгоритмов для определения оптимального управления КА вектором тяги на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ. Решалась задача минимизации потребной массы топлива (J = ∆mТ = min) при посадке КА баллистического типа в заданную точку поверхности Земли.

Постановка задачи

Движение КА описывается системой дифференциальных уравнений, являющейся частным случаем системы [1]:

ivanov01.wmf

ivanov02.wmf (1)

ivanov03.wmf

ivanov04.wmf ivanov05.wmf ivanov06.wmf ivanov07.wmf

где V – скорость КА; θ – траекторный угол; ε – курсовой угол; r – радиус-вектор, соединяющий центр Земли и центр масс КА; λ и φ – геоцентрические долгота и широта, соответственно; m – масса КА; ρ – плотность атмосферы; μ – произведение постоянной притяжения на массу Земли; Px – приведенная нагрузка на лобовую поверхность КА; Cx – аэродинамический коэффициент лобового сопротивления; P – тяга двигательной установки; Pуд – удельная тяга; gЗ – ускорение свободного падения на поверхности Земли; α – угол между проекцией вектора тяги на плоскость движения и вектором скорости КА; β – угол между вектором тяги и плоскостью движения КА.

Управление КА осуществлялось путем изменения параметров вектора тяги – P, α и β:

0 ≤ P ≤ Pmix; –π ≤ α ≤ π; –π ≤ β ≤ π. (2)

Начальное состояние КА определялось параметрами орбиты ИСЗ и его массой:

V0 = V(t0); θ0 = 0; ε0 = ε(t0);

r0 = r(t0); λ0 = λ(t0);

φ0 = φ(t0); m0 = m(t0). (3)

Концом траекторий является точка на поверхности Земли (hR = 0) c координатами

λR = λ(hR); φR = φ(hR). (4)

Учитывались промежуточные условия при входе КА в атмосферу (hвх = 100 км):

Vвх = V(hвх); θвх = θ(hвх). (5)

Исследования по разработке алгоритмов основывались на теории оптимального управления: для КА, движение которого описывается уравнениями (1) требуется найти законы управления P(t), α(t), β(t), обеспечивающие экстремум функционала J = ∆mT = m0 – mк – min при ограничениях (2), краевых (3), (4) и промежуточных (5) условиях.

Для решения вариационной задачи использовался принцип максимума Понтрягина [4]. Введем в рассмотрение гамильтониан

H = PF1 + F2. (6)

Сопряженные переменные ψi (i = 1, 2, …, 7) определяются соотношениями:

ivanov09.wmf

ivanov10.wmf (7)

Законы изменения параметров α, β и P определяются из условия

ivanov11.wmf (8)

ivanov12.wmf (9)

Тяга двигательной установки принимает граничные значения

P = Pmax при F1 > 0, P = 0 при F1 < 0. (10)

Алгоритм расчета оптимальных маневров

Докажем, что число участков полета КА с включенной тягой не превышает двух. Для определения числа переключений исследуем функцию F1, вычисляемую из уравнения [3]:

ivanov13.wmf

С учетом формул (9) и (10) получим

ivanov14.wmf (11)

Будем считать, что полет КА при включенной двигательной установке определяется в основном активными силами, а на пассивном участке – гравитационными силами. Предположим, что углы α, β и θ на активных участках полета КА меняются слабо. Тогда уравнения для переменной ψ1, влияющей на функцию F1, имеют вид

ivanov15.wmf при P ≠ 0;

ivanov16.wmf при P = 0

В условиях сделанных предположений в обоих случаях ivanov17.wmf, т.е. ψ2 = С*.

Покажем, что ivanov18.wmf при t0 ≤ t ≤ tR. Уравнение для ψ1 при P ≠ 0 с учетом (8) и (9) преобразуется следующим образом:

ivanov19.wmf

Поскольку выражение ψ1/cos α имеет тот же знак, что и cos β, то справедливо неравенство ivanov20.wmf при P ≠ 0.

Знак переменной ψ1 при P = 0 зависит от знака постоянной ψ2 = С*, который определяется из следующих соображений. Для перевода КА с орбиты ИСЗ на траекторию снижения угол α должен находиться в диапазоне –π ≤ α < –π/2. Тогда из уравнения (11) получим, что ψ1 ≤ 0, а с помощью уравнения (8) определим, что ψ2 = C* ≤ 0. Следовательно, ivanov21.wmf на пассивном участке полета. Анализ зависимости ivanov22.wmf показал, что переменная ψ1 скачком меняет свою величину в момент переключения тяги двигателя P. Отсюда заключаем, что переменная ψ1 на всем участке полета КА меняет свой знак не более двух раз, а число переключений тяги двигательной установки КА равно двум. Причем переключения осуществляются с P = Pmax на P = 0, а затем опять на P = Pmax.

Используя допущение об импульсном характере работы двигателей и решая уравнения движения [2], определим начальные углы ориентации вектора тяги α0 и β0:

ivanov23.wmf, (12)

где ivanov24.wmf

ivanov25.wmf

ivanov26.wmf

ivanov27.wmf

ivanov28.wmf

ivanov29.wmf

ivanov30.wmf (13)

где ivanov31.wmf ivanov32.wmf

Кроме того, рассмотрен двухимпульсный переход: первый импульс величиной ∆V1 с α0 = π обеспечивает вход КА в атмосферу с заданными значениями Vвх и Lбвх, а с помощью второго импульса ∆V2, подаваемого при r = rвх, корректируется величина θ.

Алгоритм расчета траекторий спуска

Разработан быстродействующий алгоритм расчета траекторий баллистического спуска КА с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли. Поскольку параметры точки посадки аппаратов баллистического типа определяются фазовыми координатами при входе КА в атмосферу, задача обеспечения спуска аппарата в заданную область поверхности Земли в данной постановке сводится к нахождению координат схода КА с орбиты λсх и φсх и требуемого бокового смещения траекторий спуска Lбвх при входе аппарата в атмосферу относительно плоскости орбиты.

Пусть граничные условия (3) и (4) принимают такие значения, при которых возможен спуск КА с орбиты ИСЗ в заданную точку поверхности Земли на текущем витке. Найдем зависимость величины Lбк от исходных условий. Пусть в некоторый момент времени tэ КА проходит экватор и характеризуется подспутниковой точкой A с географическими координатами λ = λэ, φ = 0. Конечная точка B имеет координаты φB и λB (рисунок).

pic_20.wmf

Схема для определения координат схода КА с орбиты: А – положения КА на экваторе; В – точка посадки КА; С – точка пересечения ортогональных плоскостей АОС и ВОС; D – точка схода с орбиты, B′ – уход точки B из за поворота Земли за время t1

Определим угловое расстояние между точками A и B для невращающейся Земли:

∆ν = arccos(cos φв cos Δλ), (14)

где Δλ = λв – λА.

Уточненное значение ∆ν можно вычислить по формуле (14), подставляя в нее величину Δλ, полученную с учетом поворота Земли (рисунок):

ivanov33.wmf

ivanov34.wmf (15)

Вычислим наклонение условной орбиты, проходящей через точки А и B:

ivanov35.wmf

Определим угловое расстояние b между точками B и C:

b = arcsin(sin Δν sinΔi),

где Δi = i0 – iусл.

Между искомой величиной Lбк и угловым расстоянием b имеет место зависимость

Lбк = bR3. (16)

Величину Lвн будем вычислять для импульсной постановки задачи по формуле

ivanov36.wmf

ivanov37.wmf ivanov38.wmf

Дальность полета КА баллистического типа в атмосфере может быть вычислена с помощью интегрирования системы (1). С целью сокращения расчетного времени предлагается методика, состоящая в том, что в качестве опорного рассматривается аналитическое решение уравнений, приведенных, в частности, в [5]:

ivanov39.wmf (17)

ivanov40.wmf

По этим формулам для высот h от hвх = 100 км до hR = 0 вычисляются величины скорости V(R) , траекторного угла θ(R) и дальности атмосферного участка L(R) . Зависимость для скорости полета с учетом влияния аэродинамических сил запишем в виде

ivanov41.wmf (18)

Используя допущение об экспоненциальном характере изменения плотности атмосферы от высоты зависимость (18) преобразуется к виду

ivanov42.wmf (19)

Обоснован интервал изменения аргумента ∆h, на котором сохраняется допущение о кусочном постоянстве аэродинамических сил. Показано, что при значении ∆h = 10 км погрешность вычисления дальности баллистического спуска δL не превышает ~1 %.

Найдем координаты схода КА с орбиты λсх и φсх (рисунок, точка D). Из рассмотрения сферического треугольника DCB получим формулы для расчета координат схода λсх и φсх:

ivanov43.wmf

ivanov44.wmf (20)

Определим боковое смещение точки входа КА в атмосферу относительно плоскости орбиты Lбвх, которая, являясь входным параметром для расчета траекторий движения КА на внеатмосферном участке, обеспечивает требуемое смещение Lбк на поверхности Земли:

ivanov45.wmf

ivanov46.wmf

ivanov47.wmf (21)

С помощью аналитических формул (18)–(21) вычисляются координаты схода КА с орбиты ИСЗ и требуемое боковое смещение входа КА в атмосферу Lбвх, при которых в сочетании с применением схемы управления вектором тяги на внеатмосферном участке обеспечивается спуск аппарата баллистического типа в некоторую окрестность на поверхности Земли около точки с заданными координатами φR и λR (4).

Представленные преобразования позволяют свести поставленную задачу оптимального управления к безитерационной задаче моделирования уравнений (1). Показано, что в условиях отсутствия случайных возмущающих воздействий отклонения точек посадки КА баллистического типа составляют в среднем 2–3 км, достигая в отдельных случаях ~ 5 км. Для снижения этих отклонений до величин, меньших 1 км, проводится уточненный расчет траекторий, где в формулы для вычисления координат схода с орбиты ИСЗ (20) и для бокового смещения точки входа КА в атмосферу (16), (21) вводятся поправки на величины продольного δL и бокового δLб отклонений точки посадки, вычисленной при первом просчете, относительно заданной с φ = φR и λ = λR.

Заключение

Проведенные исследования оптимального управления вектором тяги, обеспечивающего спуск КА баллистического типа с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли при минимальной расходуемой массе топлива, позволяют сделать следующие основные выводы:

  • в результате решения вариационной задачи определена структура оптимального управления КА вектором тяги на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ, обеспечивающая минимум потребной массы топлива;
  • разработан быстродействующий алгоритм расчета приближенно-оптимальных траекторий КА, спускаемых с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли.

Для безитерационного варианта расчета отклонения точек посадки от заданной составляют в среднем 2–3 км, продолжительность вычислений ~10 с. Для одноитерационного варианта отклонения уменьшаются до величины, меньшей 1 км, а продолжительность вычислений увеличится примерно вдвое.

Рецензенты:

Лаврентьев В.Г., д.т.н., начальник отдела, ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения», г. Королев;

Разумный Ю.Н., д.т.н., профессор, генеральный директор ЗАО «Научно-техническое агентство «Космоэкспорт», г. Москва.

Работа поступила в редакцию 28.05.2014.