В статье рассматривается дифференциальное уравнение вида
(1)
Оно описывает малые поперечные, продольные и крутильные колебания однородного стержня. Обычный способ решения такого уравнения состоит в отыскании решения в виде бесконечного тригонометрического ряда [1, 3, 5]. В данной работе предлагается метод, дающий решение в конечном виде.
1. Вначале найдём общее решение уравнения (1). Перейдём к новым переменным 
(2)
Функция 
перейдёт в функцию 
,
и уравнение (1) приведётся к виду
(3)
в котором
(4)
Интегрирование уравнения (3) по переменной 
даст
(5)
где 
– произвольные функции. Проинтегрировав (5) по 
получим
(6)
где 
– произвольные функции.
Пусть 
– первообразная функция от 
В этом случае
и (6) запишется в виде
Введём обозначения
Тогда
(7)
Заменив 
по формулам (2), получим общее решение исходного уравнения
2. В качестве примера применения данного метода решим уравнение (1), в котором положим 
взяв область изменения переменных
(8)
начальные условия
(9)
и однородные граничные условия
(10)
Выполнив в (1) замену
(11)
получим уравнение вида (3):
(12)
общее решение которого даётся равенством (7). Представим это равенство в виде
(13)
где
(14)
Из (11) следует
Из этих равенств вытекают соответствия:
(15)
Поэтому из (8) получается следующая область 
изменения переменных 
(рисунок):
Неограниченная полоса (D) – область изменения переменных ξ, µ (S) – область, принятая в качестве области интегрирования в двойном интеграле
Внутри 
возьмём произвольную точку 
и построим участок 
как показано на рисунке. Этот участок задаётся системой неравенств
(16)
В соответствии с (14) значение функции 
в точке 
равно
Область интегрирования определяется системой неравенств
(17)
В силу произвольности функций 
выберем их такими, чтобы система неравенств (17) совпала с (16): 
Выражение (14) примет вид
(18)
Из (18) следует
(19)
Привлечём условия (9) – (10), чтобы найти оставшиеся функции 
и 
(20)
Запишем условия (9)–(10) в переменных 
используя соответствия (15):
при 
(21)
при 
(22)
при 
(23)
при 
(24)
Подставим эти значения в (13):
при 
(25)
при 
(26)
при 
(27)
при 
(28)
При получении (28) учтено равенство (19). Запишем первые два уравнения в виде
(29)
(30)
где обозначено
(31)
при 
Проинтегрировав (30) в пределах от 0 до 
будем иметь
(32)
где
(33)
Из (29) и (32) находим
при 
(34)
при 
(35)
Получились формулы, определяющие
функции 
при 
Они обозначены 
потому что, опираясь на них, далее будем искать формулы, определяющие 
при остальных значениях 
лежащих в 
Из (27) имеем
при 
(36)
При 
правая часть определяется по формуле (35), поэтому
при 
отсюда
при 
Таким образом,
(37)
Мы нашли формулу, задающую 
при 
По этой формуле получим
(38)
Из (28) имеем
при 
(39)
Подставим (38) в (39):
(40)
Подставим (40) в правую часть равенства (36) и заменим 
на 
(41)
Эта формула определяет 
при 
В (41) заменим 
на 
и потребуем, чтобы 
Будем иметь
Подставим это выражение в (39):
И так далее. Обнаруживаются следующие закономерности, определяющие 
и 
(42)
(43)
Формулы (42), (43) дают решение задачи. В них считается, что 
при 
Непрерывность этих функций на концах интервалов обеспечивают соотношения
вытекающие из (27) и (28).
3. Итак, задачу
можно решить последовательным нахождением следующих величин:
при 
при 
и находим, наконец,
(44)
Рецензенты:
Габдрахимов М.С., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Нефтепромысловые машины и оборудование» филиала ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Октябрьский;
Арсланов И.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Механики и технологии машиностроения» филиала ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Октябрьский;
Шамолин М.В., д.ф.-м.н., профессор ведущий научный сотрудник Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва.
Работа поступила в редакцию 02.09.2014.