Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

MATHEMATICAL MODELS AND PRACTICAL CALCULATIONS OF OPTIMAL STRUCTURE OF ENTERPRISE’S INDUSTRIAL CAPITAL WITH NEOCLASSICAL PRODUCTION FUNCTION

Bezukhov D.A. 1 Khalikov M.A. 1
1 Plekhanov Russian University of Economics
В статье рассматривается постановка задачи оптимизации динамики «выпуск – затраты» для предприятия с неоклассической производственной функцией. Приводятся математическая модель оптимизации экономической динамики предприятия и практические расчеты для различных комбинаций управляемых параметров, в качестве которых обоснована целесообразность использования темпа накопления собственных средств в оборотном капитале производственной сферы и доли заемных средств в финансировании основной производственной деятельности. Показано, что для стабильных товарных и финансовых рынков рост финансового результата в производственной сфере обеспечивается в определенных интервалах изменения этих параметров, в рамках которых риск структуры производственного капитала является приемлемым и в полной мере используются финансовый и операционный рычаги.
Problem to optimization of a dynamics of «issue-inputs» for an enterprise with neoclassical production function definition is considered. Mathematical model of optimization to economical dynamic and practical calculations for different combinations of operated parameters are given. Authors offer to use as such operated parameters next two one: rate of accumulation of the equity and part of loan proceeds in financing the main activity of the enterprise. It is shown that rise of the financial result of the enterprise is guaranteed in some intervals of this parameters for stable goods and financial market. It is also shown that if this parameters are in this intervals then risk of structure of industrial capital is acceptable and financial and operation levers are used.
dynamics of «issue-inputs»
neoclassical production function
scale of production
industrial capital
capital’s structure
1. Antikol’ A.M., Khalikov M.A. Nelinejnye modeli mikrojekonomiki : uchebnoe posobie [Nonlinear microeconomics models: tutorial], Moscow Plekhanov Russian University of Economics, 2011.
2. Klejner B.G. Proizvodstvennye funkcii: teorija, metody, primenenie [Production functions: theory, methods, applications], Moscow Finansy i statistika, 1986.
3. Rasulov R.M. Dinamicheskoe modelirovanie «zatraty-vypusk» na osnove odnorodnyh raznostnyh uravnenij vtorogo porjadka [Dynamical modeling of «inputs-issue» based on second order deference equations], Sistemnyj analiz v jekonomike: materialy nauchno-prakticheskoj konferencii. 27–28 nojabrja 2012 g [System analysis in economics: Materials of theoretical and practical conference. 27–28 November 2012], Moscow CJeMI RAN, 2012, pp. 151–156.
4. Khalikov M.A. Modelirovanie proizvodstvennoj i investicionnoj strategij mashinostroitel’nogo predprijatija: monografiya [Industrial and investment strategy modeling of the engineering enetrptise: monograph.], Moscow, Blagovest-V, 2003.
5. Khalikov M.A., Rasulov R.M. Faktory dinamiki «zatraty-vypusk»: problematika ocenki i uchjota v modeljah predprijatija [Factors to the dynamic of «inputs- issue»: problems of estimates and calculation in the models of an enterprise.] Vestnik Ros-siyskogo ekonomicheskogo universiteta imeni G.V. Plekhanova [Vestnik of the Plekhanov Russian University of Economics], 2013, no. 4, pp. 70–80.

В статье рассмотрим постановку задачи и результаты моделирования экономической динамики предприятия для важного частного случая, когда зависимость между выпуском и затратами задается неоклассической производственной функцией степени однородности α (α > 0). Напомним, что если в границах экономической области предприятия его производственная функция является однородной степени ?, то зависимость «выпуск-затраты» задается соотношением [1, 3]:

bezyh01.wmf (1)

где vt – величина выпуска (в натуральном или стоимостном выражениях) для периода планирования t; c(vt) – совокупные затраты на объем выпуска vt; c(1) – удельные затраты.

Из (1) следует

bezyh02.wmf (1′)

Выше нами введено понятие производственного капитала как текущих активов, формируемых на основе собственных и заемных средств и авансируемых на покрытие производственных и внепроизводственных затрат (постоянных и переменных) операционной деятельности планового периода t.

Так как производственный капитал расходуется полностью, то соотношение (1’) можно представить в виде

vt = (PKt)α/r, (2)

где PKt – производственный капитал, сформированный в начале периода t и направляемый на финансирование операционной деятельности этого периода; r = (c(1))α.

Если βt – доля заемного капитала, а Cst – величина собственных средств в производственном капитале для периода t, то

PKt = Cst /(1 – βt). (3)

В свою очередь, собственный капитал Cst предприятия в начале периода t образуется из чистой прибыли и покрытых из выручки затрат операционной деятельности периода (t – 1):

bezyh03.wmf (4)

где τ – налог на прибыль; pt–1 – стоимость продукции предприятия для периода (t – 1); ρt–1 – стоимость заёмных средств (в объёме βt–1 •PKt–1), включаемых в производственный капитал предприятия для периода (t – 1).

Производственный  капитал PKt, формируемый для периода t, образуется путем выделения собственниками доли γt из собственных средств Cst на начало периода t и краткосрочного кредита, доля которого в его объеме составляет βt:

bezyh04.wmf (5)

или с учетом (4):

bezyh05.wmf (6)

На основании (2) делаем вывод, что

bezyh06.wmf (2′)

или bezyh07.wmf (2″)

С учетом (2″) представим (6) в виде

bezyh08.wmf (7)

Используя соотношения (2) и (7), получим следующее рекуррентное уравнение, связывающее величины выпусков vt и vt–1 на последовательных интервалах планирования:

bezyh09.wmf (8)

Возвращаясь к формуле (4) расчета величины Cst собственного капитала предприятия по завершении периода (t – 1), определим ту его часть, которая передается в фонд накопления (и в дальнейшем выплачивается акционерам в форме дивидендов).

bezyh10.wmf (9)

где Dt – абсолютный прирост фонда потребления за период t.

В динамической модели предприятия, задаваемой соотношениями (7)–(9), экзогенными (неуправляемыми) параметрами являются: ставка ? налогообложения прибыли, вектора p и ρ цен соответственно товарного и финансового рынков (по интервалам планирования).

Детерминантами модели являются показатели используемой технологии: α – степень однородности (суммарная эластичность производственной функции или показатель масштаба производства), c(1) – удельные затраты.

Эндогенными (управляемыми) параметрами являются: v1 – объем выпуска в первом плановом периоде, вектора bezyh11.wmf и bezyh12.wmf относительных объемов (долей) соответственно накопления в производственном капитале предприятия собственных средств и финансирования операционной деятельности из заёмных источников.

Таким образом, уравнения (7)–(9) задают возможные траектории изменения результата операционной и финансовой деятельности предприятия в зависимости от проводимой собственниками и менеджментом политики в сфере ее финансирования. Последняя включает выбор структуры производственного капитала (управление долей βt заёмных средств) и его объёма (управление долей γt собственных средств, вкладываемых в производство).

Практическое значение уравнений (7), (8) и (9) заключается в возможности решения следующих задач производственного и финансового планирования:

– выбор оптимального по рыночному критерию (максимум финансового результата операционной деятельности) объёма производства, величины и структуры производственного капитала для очередного интервала планирования, исходя из объема и структуры производственного капитала текущего периода, изменений экзогенных и эндогенных параметров функционирования предприятия;

– определение оптимальной пропорции инвестиций в производственный капитал (затрат на планируемый объём производства) и собственного потребления.

Перечисленные задачи, связанные с исследованием экономической динамики предприятия для абсолютно конкурентных товарных и финансовых рынков и для частного случая линейной зависимости выпуска и затрат (степень однородности производственной функции α = 1), проводились М.А. Халиковым и Р.М. Расуловым [2, 4]. Ими показано, что в этом случае экономическая динамика предприятия корректно описывается однородным разностным уравнением второго порядка. Если соответствующее характеристическое уравнение разрешимо в действительных числах, то динамика выпуска описывается возрастающей или убывающей экспоненциальной функцией, если в комплексных, то периодической волнообразной функцией (растущей или затухающей).

Для исследования экономической динамики предприятия с нелинейной неоклассической производственной функцией, задаваемой уравнениями (7)–(9), рассмотрим отдельно случаи растущей (α > 1) и падающей (α < 1) отдачи от масштаба производства. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать заданными и фиксированными: ставку τ налогообложения прибыли, цены p – товарного и ρ – финансового рынков, а также технологические константы: c(1) (удельные затраты) и v1 (выпуск на первом интервале планирования – в натуральных единицах).

Практические расчеты динамики выпуска предприятий с неоклассической производственной функцией для случаев α < 1, α > 1 и различных комбинаций регулируемых параметров γt и βt приведены для следующих рыночных и технологических констант: τ = 0,13; p = 2; c(1) = 1,2; ρ = 0,15; v1 = 16, Cs1 = 0. Характер динамики выпуска для различных комбинаций параметров α, γt, βt представлен в табл. 1.

Таблица 1

Варианты расчетов динамики предприятия с неоклассической производственной функцией на основе уравнений (7)–(9)

α

γt

βt

Динамика «выпуск – затраты»

0,8

0,1

0,1

Экспоненциальное падение (табл. 2, рис. 1)

0,8

0,1

0,5

Экспоненциальное падение

0,8

0,1

0,9

Умеренное экспоненциальное падение (табл. 3, рис. 2)

0,8

0,4

0,1

Экспоненциальное падение (табл. 4, рис. 3)

0,8

0,4

0,5

Умеренное экспоненциальное падение

0,8

0,4

0,9

Квазилинейный рост (табл. 5, рис. 4)

0,8

0,6

0,1

Умеренное экспоненциальное падение

0,8

0,6

0,5

Квазипостоянный выпуск (табл. 6, рис. 5)

0,8

0,6

0,9

Заметный экспоненциальный рост (табл. 7, рис. 6)

0,8

0,9

0,1

Квазилинейное падение (табл. 8, рис. 7)

0,8

0,9

0,5

Линейный рост (табл. 9, рис. 8)

0,8

0,9

0,9

Экспоненциальный рост (табл. 10, рис. 9)

1,2

0,1

0,1

Умеренное экспоненциальное падение (табл. 11, рис. 10)

1,2

0,1

0,5

Умеренное экспоненциальное падение

1,2

0,1

0,9

Заметный экспоненциальный рост (табл. 12, рис. 11)

1,2

0,4

0,1

Квазилинейный рост (табл. 13, рис. 12)

1,2

0,4

0,5

Экспоненциальный рост (табл. 14, рис. 13)

1,2

0,4

0,9

Заметный экспоненциальный рост (табл. 15, рис. 14)

1,2

0,6

0,1

Экспоненциальный рост (табл. 16, рис. 15)

1,2

0,6

0,5

Заметный экспоненциальный рост

1,2

0,6

0,9

Сверхсильный экспоненциальный рост (табл. 17, рис. 16)

1,2

0,9

0,1

Заметный экспоненциальный рост (табл. 18, рис. 17)

1,2

0,9

0,5

Заметный экспоненциальный рост

1,2

0,9

0,9

Сверхсильный экспоненциальный рост (табл. 19, рис. 18)

Таблица 2

α = 0,8; γt = 0,1; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

3,592

2,404

25,056

3

0,511

0,505

4,143

4

0,104

0,142

0,845

5

0,029

0,051

0,233

6

0,010

0,022

0,082

7

0,004

0,011

0,035

8

0,002

0,007

0,018

9

0,001

0,004

0,010

10

0,001

0,003

0,007

pic_42.wmf

Рис. 1. vt при α = 0,8; γt = 0,1; βt = 0,1

Таблица 3

α= 0,8; γt = 0,1; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

28,322

12,542

25,056

3

22,178

10,313

19,960

4

18,223

8,814

16,401

5

15,564

7,769

14,008

6

13,713

7,020

12,342

7

12,388

6,472

11,149

8

11,417

6,063

10,275

9

10,693

5,754

9,624

10

10,145

5,517

9,131

pic_43.wmf

Рис. 2. vt при α = 0,8; γt = 0,1; βt = 0,9

Таблица 4

α = 0,8; γt = 0,4; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

14,369

7,288

16,704

3

6,383

3,808

8,617

4

3,276

2,233

4,423

5

1,897

1,443

2,562

6

1,214

1,010

1,639

7

0,844

0,755

1,139

8

0,627

0,595

0,847

9

0,493

0,491

0,665

10

0,405

0,420

0,547

pic_44.wmf

Рис. 3. vt при α = 0,8; γt = 0,4; βt = 0,1

Таблица 5

α = 0,8; γt = 0,4; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

113,288

38,019

16,704

3

270,300

76,231

40,545

4

544,136

133,420

81,620

5

955,919

209,407

143,388

6

1505,463

301,156

225,819

7

2171,618

403,721

325,743

8

2918,915

511,484

437,837

9

3706,460

619,188

555,969

10

4495,612

722,580

674,342

pic_45.wmf

Рис. 4. vt при α = 0,8; γt = 0,4; βt = 0,9

Таблица 6

α= 0,8; γt = 0,6; βt = 0,5

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

36,392

15,327

11,136

3

34,830

14,799

11,610

4

33,606

14,381

11,202

5

32,639

14,049

10,880

6

31,870

13,784

10,623

7

31,256

13,571

10,419

8

30,764

13,400

10,255

9

30,369

13,262

10,123

10

30,050

13,150

10,017

pic_46.wmf

Рис. 5. vt при α = 0,8; γt = 0,6; βt = 0,5

Таблица 7

α = 0,8; γt = 0,6; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

169,932

52,586

11,136

3

561,799

136,874

37,453

4

1471,264

295,670

98,084

5

3197,582

550,190

213,172

6

5984,757

908,432

398,984

7

9934,678

1362,630

662,312

8

14973,941

1892,012

998,263

9

20880,144

2468,549

1392,010

10

27343,929

3062,977

1822,929

pic_47.wmf

Рис. 6. vt при α = 0,8; γt = 0,6; βt = 0,9

Таблица 8

α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

32,331

13,943

2,784

3

28,042

12,442

2,804

4

24,929

11,324

2,493

5

22,620

10,477

2,262

6

20,876

9,826

2,088

7

19,538

9,319

1,954

8

18,500

8,921

1,850

9

17,685

8,605

1,769

10

17,041

8,353

1,704

pic_48.wmf

Рис. 7. vt при α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,1

Таблица 9

α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,5

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

54,588

21,200

2,784

3

72,760

26,679

4,042

4

92,038

32,198

5,113

5

111,571

37,558

6,198

6

130,634

42,609

7,257

7

148,676

47,255

8,260

8

165,331

51,444

9,185

9

180,393

55,161

10,022

10

193,789

58,414

10,766

pic_49.wmf

Рис. 8. vt при α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,5

Таблица 10

α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

254,897

72,736

2,784

3

1167,831

245,787

12,976

4

3980,930

655,606

44,233

5

10716,430

1447,755

119,071

6

23882,266

2748,625

265,359

7

45740,963

4622,738

508,233

8

77558,514

7052,752

861,761

9

1,19E + 05

9947,053

1324,515

10

1,69E + 05

13165,810

1880,391

pic_50.wmf

Рис. 9. vt при α = 0,8; γt = 0,9; βt = 0,9

Таблица 11

α = 1,2; γt = 0,1; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

3,251

3,306

25,056

3

0,681

0,507

5,520

4

0,107

0,055

0,866

5

0,012

0,004

0,097

6

0,001

18,4E-05

0,008

7

4,76E-05

5,23E-06

3,86E-04

8

1,63E-06

9,11E-08

1,32E-05

9

3,88E-08

1,03E-09

3,14E-07

10

7,03E-10

8,34E-12

5,69E-09

pic_51.wmf

Рис. 10. vt при α = 1,2; γt = 0,1; βt = 0,1

Таблица 12

α = 1,2; γt = 0,1; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

27,992

43,794

25,056

3

76,554

146,468

68,898

4

255,815

623,007

230,233

5

1087,242

3536,504

978,518

6

6167,162

28384,743

5550,446

7

49466,851

3,45E + 05

44520,166

8

6,01E + 05

6,92E + 06

5,41E + 05

9

1,20E + 07

2,52E + 08

1,08E + 07

10

4,39E + 08

1,89E + 10

3,95E + 08

pic_52.wmf

Рис. 11. vt при α = 1,2; γt = 0,1; βt = 0,9

Таблица 13

α = 1,2; γt = 0,4; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

13,002

17,450

16,704

3

14,170

19,348

19,130

4

15,699

21,880

21,194

5

17,736

25,329

23,944

6

20,510

30,153

27,688

7

24,384

37,112

32,919

8

29,967

47,529

40,456

9

38,314

63,827

51,723

10

51,351

90,707

69,324

pic_53.wmf

Рис. 12. vt при α = 1,2; γt = 0,1; βt = 0,9

Таблица 14

α = 1,2; γt = 0,4; βt = 0,5

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

22,899

34,415

16,704

3

49,092

85,941

36,819

4

122,172

256,655

91,629

5

363,592

949,992

272,694

6

1341,222

4549,707

1005,917

7

6402,668

29690,376

4802,001

8

41660,661

2,81E + 05

31245,496

9

3,93E + 05

4,16E + 06

2,95E + 05

10

5,80E + 06

1,05E + 08

4,35E + 06

pic_54.wmf

Рис. 13. vt при α = 1,2; γt = 0,4; βt = 0,5

Таблица 15

α = 1,2; γt = 0,4; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

111,967

231,149

16,704

3

1614,415

5683,304

242,162

4

39636,839

2,65Е + 05

5945,526

5

1,84Е + 06

2,65Е + 07

2,77Е + 05

6

1,85E + 08

6,68E + 09

2,77Е + 07

7

4,65E + 10

5,09E + 12

6,98E + 09

8

3,54E + 13

1,46E + 16

5,31E + 12

9

1,01E + 17

2,05E + 20

1,52E + 16

10

1,43E + 21

1,96E + 25

2,14E + 20

pic_55.wmf

Рис. 14. vt при α = 1,2; γt = 0,4; βt = 0,9

Таблица 16

α = 1,2; γt = 0,6; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

19,503

28,386

11,136

3

34,448

56,180

20,669

4

67,855

126,731

40,713

5

152,298

334,361

91,379

6

399,733

1064,405

239,840

7

1265,875

4244,746

759,525

8

5022,601

22186,915

3013,561

9

26128,417

1,61E + 05

15677,050

10

1,88E + 05

1,72E + 06

1,13E + 05

pic_56.wmf

Рис. 15. vt при α = 1,2; γt = 0,6; βt = 0,1

Таблица 17

α = 1,2; γt = 0,6; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

167,951

376,011

11,136

3

3938,205

16570,685

262,547

4

1,73E + 05

1,55E + 06

11552,966

5

1,62E + 07

3,61E + 08

1,08E + 06

6

3,77E + 09

2,49E + 11

2,51E + 08

7

2,6E + 12

6,36E + 14

1,74E + 11

8

6,64E + 15

7,79E + 18

4,43E + 14

9

8,14E + 19

6,27E + 23

5,43E + 18

10

6,55E + 24

4,84E + 29

4,37E + 23

pic_57.wmf

Рис. 16. vt при α = 1,2; γt = 0,6; βt = 0,9

Таблица 18

α = 1,2; γt = 0,9; βt = 0,1

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

29,255

46,176

2,784

3

83,767

163,182

8,377

4

293,733

735,403

29,373

5

1313,953

4438,929

131,395

6

7877,403

38075,197

787,740

7

67172,104

4,98Е + 05

6717,210

8

8,75Е + 05

1,09Е + 08

87513,411

9

1,90Е + 07

4,36E + 08

1,90Е + 06

10

7,60E + 08

3,65E + 10

7,60Е + 07

pic_58.wmf

Рис. 17. vt при α = 1,2; γt = 0,9; βt = 0,1

Таблица 19

α = 1,2; γt = 0,9; βt = 0,9

t

PKt

vt

Dt

1

0

16

0

2

251,926

611,660

2,784

3

9607,058

48316,004

106,745

4

7,58Е + 05

9,13Е + 06

8419,042

5

1,43E + 08

4,91E + 09

1,59Е + 06

6

7,7E + 10

9,3E + 12

8,55E + 08

7

1,46E + 14

7,96E + 16

1,62E + 12

8

1,25E + 18

4,17E + 21

1,39E + 16

9

6,53E + 22

1,92E + 27

7,26E + 20

10

3E + 28

1,2E + 34

3,34E + 26

pic_59.wmf

Рис. 18. vt при α = 1,2; γt = 0,9; βt = 0,9

Расчеты динамики «выпуск – затраты» для предприятия с неоклассической производственной функцией, основанные на уравнениях (7)–(9) и отраженные в табл. 1–19 и рис. 1–18, позволяют сделать следующие выводы, часть из которых согласуется с выводами работ [2, 4], полученными для частного случая линейной производственной функции.

1. Масштаб производства (степень однородности производственной функции), являясь неуправляемым фактором модели «выпуск – затраты», существенно влияет на экономическую динамику предприятия, что подтверждается сопоставительным анализом таблиц (табл. 3–12, табл. 4–13, табл. 5–15, табл. 8–18) и графических иллюстраций динамики выпуска (рис. 2–11, рис. 3–12, рис. 4–14, рис. 7–17).

2. Выбор управляемых параметров модели «выпуск – затраты» (γt – темп накопления собственных средств в производственном капитале, βt – доля заемных средств в производственном капитале) является корректным, что отмечено и в цитируемых работах.

В нашем случае пороговым значением показателя γt является 0,4, что подтверждается сравнительным анализом динамики выпуска для значений темпа накопления соответственно меньших и больших этого значения.

3. Аналогично случаю линейной производственной функции важную роль в улучшении динамики выпуска играет фактор налогового щита: с ростом финансового рычага (доли заемных средств) динамика выпуска существенно улучшается.

В целом проведенные теоретические обоснования модели «выпуск – затраты» и осуществленные на ее основе практические расчеты убедительно демонстрируют актуальность постановки задачи оптимизации структуры производственного капитала предприятия на основе корректного определения управляемых параметров, в качестве которых предложено использовать темп накопления собственных средств и коэффициент долга.

Рецензенты:

Тихомиров Н.П., д.э.н., заведующий кафедрой «Математические методы в экономике», РЭУ им. Г.В. Плеханова, г. Москва;

Харченко С.Г., д.ф.-м.н., профессор кафедры национальной безопасности факультета национальной безопасности, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 01.10.2014.