Задача о стационарных процессах в цилиндрических телах в случае, когда граница фазового перехода движется вдоль образующей, не меняясь, с постоянной скоростью, называется квазистационарной задачей Стефана. Такие задачи имеют большое прикладное значение, например, в металлургии, сварке и кристаллизации.

Математическая модель

Пусть пластина, имеющая ширину h и бесконечную длину, движется вдоль неподвижного теплового источника, задаваемого функцией g(x), отличной от нуля на отрезке [– α, α]. Направление движения совпадает с осью x. На достаточно большом расстоянии от теплового источника температура принимается равной нулю. Процесс будет описываться следующей квазистационарной задачей Стефана (рис. 1).

где n – нормаль к S = S1∪S2,V – вектор скорости;

;

на

на ;

;

на .

Рис. 1. G1 – твердая фаза, G2 – жидкая фаза

Рассмотрим следующую задачу: управляя тепловым потоком g(x), добиться минимального отклонения границы фазового перехода от заданной границы S.

Учитывая, что на границе фазового перехода S значение u равно температуре плавления θ, зафиксируем желаемую границу S и рассмотрим задачу минимизации функционала

(1)

где

Представим функцию u(x,y) в виде суммы

где v(x,y) – решение задачи

;

;

;

на ; (2)

на ;

на .

Если задача (2) при g(x) = 0 имеет только нулевое решение, то она однозначно разрешима в пространстве [5] для любой функции g(x)∈L²(– α,α) и будет выполняться неравенство [5]

(3)

Рассмотрим оператор , сопоставляющий функции g след решения v задачи (2) на S.

Теорема. Оператор А является непрерывным. Сопряженный оператор А* определяется равенством

где ψ – решение следующей сопряженной задачи:

,

,

,

на ,

,

на .

Доказательство. Непрерывность оператора A вытекает из неравенства (3) и теорем вложения. Формула для сопряженного оператора получается применением метода интегрирования по частям к равенству

.

Теорема доказана.

Положим . Тогда задачу (1) можно переписать в виде

,

.

Пусть {ek} – базис в H, hi = А*ei. Критерий оптимальности будет иметь следующий вид [2]:

,

где ψ = Ag – z

Пусть , .

Рассмотрим аппроксимирующие задачи:

,

Для решения этих задач можно воспользоваться двойственным регуляризованным методом [4].

Для этого введем регуляризованные задачи

,

, .

Введем функцию Лагранжа

,

.

Решая двойственную задачу

,

,

найдем последовательность {gN} приближений оптимального управления g, которая будет в общем случае слабо сходиться к множеству оптимальных решений.

Рис. 2. График полученного источника gN

Рис. 3. График полученной температуры u (x, 0) на границе y = 0

Рис. 4. Температура на S1 и S2: сплошной линией указана температура на S1, точечной линией указана температура на S2, пунктиром – заданная температура θ

Результаты вычислительных экспериментов

При решении задачи использовались следующие данные: S1 – отрезок x = – r, y∈[0, h], S2 – отрезок x = r, y∈[0, h], α = r = 0,002 м, R = 0,5 м, a1 = 155,7 Вт/(м×К) и a2 = 100Вт/(м×К) – теплопроводность в твердой и жидкой фазе соответственно, h = 0,01 м – толщина, θ 1000 °С – температура, b1 = c1ρ1V, b2 = c2ρ2V, где с1 = 1000 Дж/(кг×К) и с2 = 1000 Дж/(кг×К) – удельная теплоемкость в твердой и жидкой фазе соответственно, ρ1 = 2600 кг/(м3) и ρ2 = 2300 кг/(м3) – плотность в твердой и жидкой фазе соответственно, V = 0,001 м/с – скорость, λ = ρ1k, где k = 315000 Дж/кг – теплота плавления, N = 40.

В качестве базиса в пространстве Н использовалась следующая система векторов:

, .

Решение сопряженной задачи находилось методом Галеркина как решение, удовлетворяющее соответствующему интегральному тождеству.

Рецензенты:

Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры фундаментальной и компьютерной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;

Шатров А.В., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования в экономике, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Работа поступила в редакцию 30.12.2014.