Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

STRESS–STRAIN STATE OF REINFORCED CONCRETE ARCH WITH CREEP OF CONCRETE

Avakov A.A. 1 Chepurnenko A.S. 1 Litvinov S.V. 1
1 FGBOU VPO «The Rostov state construction university»
В статье приводится методика расчета железобетонных арок методом конечных элементов с учетом ползучести бетона. В качестве примера рассматривается железобетонная арка параболического очертания, загруженная равномерно распределенной нагрузкой. Приводятся следующие этапы: постановка задачи, формирование расчётной схемы, вывод уравнений метода конечных элементов, решение, представление и анализ результатов. На основе вязкоупругой модели наследственного старения бетона исследуется вопрос перераспределения напряжений между бетоном и арматурой вследствие ползучести бетона. Задача решается методом конечных элементов. По результатам расчёта приводятся графики изменения напряжений в бетоне по высоте сечения во времени в середине пролёта арки, а также изменение напряжений в арматуре по длине балки у верхней и нижней граней.
The article provides a finite element method for calculation of reinforced concrete arches with the creep of concrete. As an example, the reinforced concrete arch of parabolic shape, loaded with a uniformly distributed load is consumed. We give the following stages of calculation: formulation of the problem, the formation of design scheme, derivation of the finite element method, the solution, presentation and analysis of results. On the basis of a viscoelastic model of hereditary aging concrete we explore redistribution of stresses between the concrete and reinforcement due to creep of concrete. The problem is solved by finite element method. According to the results of calculation are graphs of stresses in the concrete section through height in time in the middle of the span of the arch, as well as changing the stress in the reinforcement along the beam at the top and bottom faces.
finite element method
the creep of concrete
viscoelastic model of hereditary aging
reinforced concrete arch
the stress-strain state
1. Gur’eva Ju.A. Nekotorye prilozhenija uproshhennojj teorii nelinejjnojj polzuchesti nestarejushhego betona pri szhatii // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo. 2008. no. 6. рр. 52–53.
2. Gur’eva Ju. A. Uproshhennaja teorija nelinejjnojj polzuchesti betona pri szhatii // Vestn. grazhd. inzhenerov. 2008. no. 2 (15). рр. 37–41.
3. Litvinov S.V., Jukhnov I.V., Jazyev B.M., Chepurnenko A.S. Prodol’nyjj izgib gibkojj zhelezobetonnojj stojjki pri nelinejjnojj polzuchesti // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. 2014. no. 5; URL:http://www.science-education.ru/119-14705.
4. Tamrazjan A.G. Mekhanika polzuchesti betona: monografija / A.G. Tamrazjan, S.G. Esajan. Moskva: MGSU, 2012. 490 р.
5. Chepurnenko A.S., Jukhnov I.V., Jazyev B.M., Litvinov S.V. Raschet vnecentrenno szhatogo zhelezobetonnogo sterzhnja na polzuchest’ pri razlichnykh zakonakh deformirovanija // Nauchnoe obozrenie. no. 8. Chast’ 3. 2014. рр. 935–940.
6. Jukhnov I.V., Jazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Naprjazhenno-deformirovannoe sostojanie korotkogo vnecentrenno szhatogo zhelezobetonnogo sterzhnja pri nelinejjnojj polzuchesti // Nauchnoe obozrenie. no. 8. Chast’ 3. 2014. рр. 929–934.

Железобетонные арки, благодаря своей высокой несущей способности, находят широкое применение в строительстве. Так как в поперечных сечениях арки возникают два основных внутренних силовых фактора: изгибающий момент и продольная сила, то конструирование арок выполняют по общим правилам для внецентренно сжатых элементов.

Для железобетонных колонн, испытывающих внецентренное сжатие, имеются теоретические и экспериментальные данные о том, что вследствие ползучести бетона происходит перераспределение напряжений между арматурой и бетоном [1–6]. Аналогичное явление возможно и для арок. В настоящей статье рассматривается методика расчета железобетонных арок с учётом ползучести бетона методом конечных элементов. Расчётная схема, а также поперечное сечение арки показаны соответственно на рис. 1.

В качестве закона, описывающего связь между напряжениями и деформациями бетона, будем использовать уравнение вязкоупругой модели наследственного старения (ВУмНС) [1], которое имеет вид

avakov01.wmf (1)

где εb(t) – деформация бетона; σb(t) – напряжение в бетоне; Eb(t) – модуль упругости бетона; C(t, τ) – мера ползучести, которая имеет вид

avakov02.wmf (2)

Перепишем уравнение (2) в виде

avakov03.wmf (3)

где avakov04.wmf – деформация ползучести.

pic_1.tif

Рис. 1. Расчётная схема и поперечное сечение арки

Выразим в (3) напряжение через деформацию:

avakov05.wmf (4)

Полная деформация бетона представляет собой сумму осевой деформации avakov06.wmf и деформации, обусловленной изменением кривизны:

avakov07.wmf (5)

Деформации арматуры запишутся в виде

avakov08.wmf (6)

Потенциальная энергия деформации представляет собой сумму потенциальной энергии бетона и арматуры:

avakov09.wmf (7)

Потенциальная энергия бетона определяется следующим выражением

avakov10.wmf (8)

где avakov11.wmf – упругая деформация бетона.

Подставив (4) и (5) в (8), получим:

avakov12.wmf (9)

где avakov13.wmf – момент инерции бетона; Ab = bh – площадь бетонного сечения.

Потенциальная энергия деформации арматуры, расположенной у нижней грани, может быть найдена следующим образом:

avakov14.wmf (10)

Аналогично для арматуры верхней грани:

avakov15.wmf (11)

В случае симметричного армирования avakov16.wmf для потенциальной энергии деформации всей арматуры получим

avakov17.wmf (12)

где avakov18.wmf – момент инерции арматуры.

Для расчета будет использоваться стержневой конечный элемент, показанный на рис. 2. В каждом узле данного элемента имеется 3 степени свободы: 2 линейных перемещения u и v, а также угол поворота φ. Вектор узловых перемещений запишется в виде

{U} = {ui uj vi φi vj φj)}.

Прогиб конечного элемента будем аппроксимировать следующим образом:

avakov19.wmf (13)

pic_2.tif

Рис. 2. Стержневой конечный элемент

Вектор {α} найдем из следующих условий:

v(0) = vi, avakov20.wmf, v(l) = vj, avakov21.wmf

avakov22.wmf (14)

Вторая производная прогиба запишется в виде

avakov23.wmf (15)

Для осевых перемещений u принимаем линейную зависимость от x:

avakov24.wmf (16)

Тогда осевая деформация ε0 будет определяться следующим образом:

avakov25.wmf (17)

Подставив (15) и (17) в (9) и (12), получим следующее выражение для потенциальной энергии железобетонного элемента:

avakov26.wmf (18)

где avakov27.wmf – матрица жесткости, которая имеет блочную структуру; avakov28.wmf – вклад деформаций ползучести бетона в вектор узловых нагрузок;

avakov29.wmf

где avakov30.wmf – жесткость приведенного сечения при центральном растяжении (сжатии); avakov31.wmf – жесткость приведенного сечения при изгибе.

avakov32.wmf (19)

Окончательно задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, имеющей вид

avakov33.wmf (20)

где {Fq} – вектор внешних узловых нагрузок.

Определение деформаций ползучести. В соответствии с выбранной реологической моделью деформация ползучести бетона определяется следующим образом:

avakov34.wmf (21)

где avakov35.wmf

Найдем производную каждой составляющей по времени:

avakov36.wmf (22)

Методика решения задачи. Рассматриваемый временной интервал разбивается на n шагов Δt, а поперечное сечение каждого элемента по высоте на m частей Δy. На первом шаге выполняется решение упругой задачи avakov37.wmf. По найденным перемещениям вычисляются напряжения, а по напряжениям находятся скорости роста составляющих avakov38.wmf и avakov39.wmf по формулам (22). Компоненты деформации ползучести в момент времени t + Δt определяются при помощи линейной аппроксимации.

Была решена модельная задача при следующих исходных данных: пролет арки L = 16 м, подъем f = 3,2 м, b = 20 см, h = 40 см, τ0 = 28 сут, Eb(τ0) = 3∙104 МПа, реологические константы α = 0,032, γ = 0,062, C = 3,77∙10–5 МПа–1, B = 5,68∙10–5 МПа–1, коэффициент армирования avakov40.wmf avakov41.wmf ES = 2∙105 МПа.

Рис. 3 – изменение напряжений в бетоне в середине пролёта. Рис. 4–5 – соответственно графики изменения напряжений в арматуре у верхней и нижней грани.

Из рис. 3–5 видно, что вследствие ползучести бетона происходит перераспределение напряжений: в бетоне напряжения по абсолютному значению снижаются, а в арматуре возрастают. У верхней грани наиболее существенно меняются напряжения в середине пролета: в арматуре сжимающие напряжения avakov43.wmf возрастают с 52,48 до 97,46 МПа, а в бетоне убывают с 8,27 до 6,84 МПа.

У нижней грани наиболее значительное перераспределение происходит в сечениях x = 0 и x = l: в арматуре сжимающие напряжения σS возрастают с 70,7 до 131,4 МПа, а в бетоне убывают с 11,3 до 9,35 МПа.

pic_3.tif

Рис. 3. Изменение напряжений в бетоне по высоте сечения при avakov42.wmf

pic_4.tif

Рис. 4. Изменение напряжений в арматуре у верхней грани

pic_5.tif

Рис. 5. Изменение напряжений в арматуре у нижней грани

Таким образом, даже линейная ползучесть бетона оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние железобетонных арок. В рассмотренном примере напряжения в арматуре у верхней грани в середине пролета возросли в 1,85 раз.

Рецензенты:

Бескопыльный А.Н., д.т.н., профессор кафедры технической эксплуатации и сервиса автомобилей и оборудования, проректор по учебной работе, Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону;

Маилян Д.Р., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Железобетонные и каменные конструкции», ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», г. Ростов-на-Дону.

Работа поступила в редакцию 04.02.2015.