Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

THE COMPELLED FLUCTUATIONS OF A BAR OF THE NERD ON A PHASE OF INTERACTION BYRD WITH AN FELL OF THE DEVELOPED GRID

Tuvin A.A. 1 Maksimov A.A. 1
1 Ivanovo State Polytechnical University
Разработана математическая и динамические модели задачи вынужденных колебаний батанного механизма с учетом упругой системы заправки станка, необходимой для анализа конструктивных и технологических возможностей батанного механизма при выработке сетки заданных технических характеристик. Решение задачи о вынужденных колебаниях бруса показало, что на фазе движения батана в процессе формирования сетки (взаимодействие берда с опушкой ткани) проявляются вынужденные, свободные (вызванные не­нулевыми начальными условиями) и свободные сопровождающие колебания. Полученные зависимости позволяют определить не только напряже­ния, возникающие в элементах конструкции, но и форму бруса в интересуемый момент времени, например, в момент отхода берда от опушки. При проектиро­вании цикловой диаграммы работы батана, например, с выстоем в переднем положении, возникает необходимость определения времени затухания свобод­ных и свободных сопровождающих колебаний бруса. Для этого необходимо решение задачи о собственных колебаниях бруса по начальным условиям, определяемым при решении задачи о вынужденных колебаниях на фазе движения батана в процессе формирования сетки.
It is developed mathematical and dynamic models of a problem of the compelled fluctuations of nerd of mechanisms taking into account elastic system of gas station of the machine, necessary for the analysis of constructive and technological capabilities of batanny of mechanisms at development of a grid of the set technical characteristics. The solution of a task on the compelled fluctuations of a bar has shown that on a phase of the movement of the nerd in the course of formation of a grid (Byrd’s interaction with a fabric edge) are shown compelled, free (caused by nonzero entry conditions) and free attendants of fluctuation. The received dependences allow to define not only tension arising in design elements but also a bar form in a required time point, for example, system in the front position, becomes necessary to determine the decay time of free and free accompanying vibrations of the beam. At design of the cyclic chart of work of the nerd, for example, with we will stand in forward situation, there is a need of definition of time of attenuation of free and free attendants of fluctuations of a bar. For this purpose the solution of a task on own fluctuations of a bar on the entry conditions defined at the solution of a task on the compelled fluctuations on a phase of the movement of the nerd in the course of formation of a grid is necessary.
weaving loom
nerd
bar
form of a bar
fell of the cloth
model
oscillation frequency
1. Vulfson I.I. Kolebanija mashin s mehanizmami ciklovogo dejstvija / I.I. Vulfson. L.: Mashinostroenie. 1990. 309 p.
2. Smirnov V.I. Kurs vysshej matematiki: Uchebnoe posobie dlja vtuzov: V 6 t. T. 1. / V.I. Smirnov. M.: Nauka. 1965. 480 p.
3. Surov V.A. Dinamika uprugih sistem batannyh mehanizmov metallo¬tkackih stankov. / V.A. Surov, A.A. Tuvin. Ivanovo: IGTA. 2004. 188 p.
4. Tuvin A.A. Raschet sobstvennyh chastot i form izgibnyh i krutilnyh kolebanij brusa batana shirokih metallotkackih stankov / A.A. Tuvin, A.A. Maksimov // Fundamentalnye issledovanija. 2016. no. 8–1. pp. 65–70.
5. Filippov A.P. Kolebanija deformiruemyh sistem / A.P. Filippov. M.: Mashinostroenie. 1970. 736 p.

Постановка и решение динамической задачи требует соответствующего представления модели батанного механизма. Обратимся к схеме (рисунок). Брус 1 батана жестко закреплен в n лопастях 2, неподвижно соединенных с подбатанным валом 3. Вал 3 расположен в подшипниковых опорах (подшипники качения). Батан получает возвратно-качательное движение от кулачкового привода посредством коромысла 4 и шатуна 5. Соединения вал коромысла – станина, коромысло-шатун и шатун-лопасть выполнены также на подшипниках качения, обладающих радиальной податливостью.

В простейшем случае (техническая теория) уравнение вынужденных колебаний бруса во время движения батана в процессе формирования сетки имеет вид

tuv01.wmf, (1)

где tuv02.wmf – перемещение (кинематическое) бруса на рассматриваемой фазе движения батана (в дальнейшем индекс 1 будем опускать, предполагая начало отсчета времени t c момента подхода берда к опушке сетки).

tuvin1.tif

Схема упругих связей батанного механизма металлоткацкого станка типа СТР

Решение уравнения (1) ищется в виде суммы

tuv03.wmf, (2)

где tuv04.wmf – решение однородного уравнения;

tuv05.wmf – частное решение, соответствующее виду правой части.

Решение tuv06.wmf, согласно [5], можно представить в виде

tuv07.wmf, (3)

где tuv08.wmf – собственные формы; j – номер участка бруса (1…п-1); pi – собственные частоты изгибаемых колебаний бруса в рассматриваемой фазе его движения; tuv09.wmf – постоянные.

На основании (3) можно записать (номер участка бруса опускаем):

tuv10.wmf,

tuv11.wmf, (4)

или

tuv12.wmf. (5)

Учитывая свойство ортогональности нормальных форм колебаний из (5.20) найдем

tuv13.wmf,

tuv14.wmf, (6)

то есть решение (3) определено. Решение tuv15.wmf ищется также в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv16.wmf

и

tuv17.wmf,

где Ti(t) – искомые функции времени.

Учитывая, что

tuv18.wmf,

tuv19.wmf,

получим

tuv20.wmf.

При учете сил неупругого сопротивления уравнение вынужденных колебаний бруса примет вид

tuv21a.wmf

tuv21b.wmf. (7)

Уравнение решается аналогично предыдущему. Решение tuv22.wmf принимается в виде

tuv23.wmf,

tuv24.wmf, (8)

где

tuv25.wmf, tuv26.wmf.

tuv27.wmf – формы и частоты собственных колебаний системы без сопротивлений, рассчитываемые в соответствии с методикой, изложенной в [4]. Частное решение tuv28.wmf ищется в той же форме (2). Подставляя (2) в уравнение (7) и учитывая, что

tuv29.wmf, tuv30.wmf,

получим

tuv31.wmf,

следовательно,

tuv32.wmf. (9)

Обозначив

tuv33.wmf,

будем иметь

tuv34.wmf

Общее решение ищется в виде суммы (2), решение tuv35.wmf однородного уравнения – в виде

tuv36.wmf. (10)

Здесь tuv37.wmf – собственные частоты и формы, а коэффициенты tuv38.wmf и tuv39.wmf определяются из начальных условий. Тогда имеем

tuv40.wmf, tuv41.wmf.

Из (10), учитывая (4), получим

tuv42.wmf, tuv43.wmf.

Для отыскания частного решения tuv44.wmf, возмущающую функцию разложим в гармонический ряд

tuv45.wmf,

где

tuv46.wmf.

Решение tuv28.wmf ищется в виде tuv48.wmf. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

tuv49a.wmf

tuv49b.wmf

или

tuv50.wmf, (11)

где

tuv51.wmf; tuv52.wmf.

Введем новую переменную tuv53.wmf. Тогда уравнение (5.39) можно представить в виде

tuv54.wmf. (12)

Полагая tuv55.wmf, получим характеристическое уравнение

tuv56.wmf,

откуда

tuv57.wmf,

так как в данном случае tuv58.wmf и tuv59.wmf, то tuv60.wmf, tuv61.wmf, tuv62.wmf, tuv63.wmf,

где

tuv64.wmf, tuv65.wmf. (13)

Тогда

tuv66.wmf,

и будем иметь

tuv67.wmf (14)

Постоянные коэффициенты Ai, Bi, Ci, Di определяются из граничных условий. Подставляя (14) в граничные условия, придем к системе линейных алгебраических уравнений вида

tuv68.wmf. (15)

Тогда

tuv69.wmf; tuv70.wmf; tuv71.wmf; tuv72.wmf, (16)

где Δ, Δa, Δb, Δc, Δd – соответствующие определители системы (5.44).

Исключая угол β сдвига, получим

tuv73.wmf

tuv74.wmf

tuv75.wmf

tuv76.wmf (17)

Пренебрегая двумя последними членами в левой части данного уравнения, будем искать его решение в форме (2). Решение tuv77.wmf однородного уравнения можно представить в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv78.wmf,

tuv79.wmf.

где Xi(x) – собственные формы колебаний бруса на второй фазе движения батана.

Величины qi и ni определены в работе [4]. Для определения коэффициентов tuv80.wmf и tuv81.wmf воспользуемся начальными условиями. Будем иметь

tuv82.wmf откуда получаем tuv83.wmf

tuv84.wmf,

где tuv85.wmf – собственные формы колебаний бруса на первой фазе движения батана;

tuv86.wmf – постоянные, определяемые по методике, изложенной в работе [3].

Далее остановимся на учете только первой гармоники. В предлагаемой постановке это основное допущение при приближенном решении задачи, позволяющее существенно упростить математическую модель. Принимая такое допущение, мы имеем в виду, что амплитуды колебаний системы с неупругим сопротивлением на низшей частоте являются наиболее значимыми. Кроме того, вследствие симметричности конструкции, следовательно, и ее динамической модели, четные формы колебаний не реализуются, поскольку эти формы являются кососимметричными и входящий в выражение интеграл tuv87.wmf для этих форм будет равен нулю. Умножив уравнение (17) на Xi(x) и проинтегрировав результат по всей длине бруса, с учетом принятого допущения это уравнение можно представить в виде

tuv88.wmf, (18)

где ai – постоянные коэффициенты, определяемые по методике, изложенной в работе [3].

Для решения уравнения (18) рассмотрим однородное уравнение

tuv89.wmf,

где tuv90.wmf.

Представляя решение данного уравнения в виде tuv91.wmf, получим характеристическое уравнение tuv92.wmf. Решение этого уравнения можно получить либо по методу Феррари, либо по методу Н.И. Лобачевского [2]. Окончательный вид функции tuv93.wmf будет зависеть от вида четырех корней ki характеристического уравнения [2, 5]. После нахождения функции tuv94.wmf решение уравнения (18) ищется методом вариации произвольных постоянных [2], при этом

tuv95.wmf,

где tuv96.wmf, а функции tuv97.wmf находятся по формуле Крамера [2] из следующей системы уравнений:

tuv98.wmf. (19)

Уравнение вынужденных чисто крутильных колебаний бруса имеет вид

tuv99.wmf. (20)

Имея в виду, что начальные условия в данном случае нулевые, поскольку в принятой постановке задачи крутильные колебания до данной фазы движения батана не возникают, решение уравнения (20) можно представить в виде

tuv100.wmf,

где tuv101.wmf – собственные формы, определяемые по методике [4]. Для определения функции Ti(t) аналогично предыдущему представим возмущающую функцию в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv102.wmf,

tuv103.wmf.

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение (20) и учитывая свойство ортогональности нормальных форм, а также то, что tuv104.wmf, получим

tuv105.wmf

где 2ni и tuv106.wmf определяются по методике, изложенной в [3]. Следовательно,

tuv107.wmf, tuv108.wmf,

tuv109.wmf.

Полученные выше зависимости позволяют определить не только напряжения, возникающие в элементах конструкции, но и форму бруса в интересуемый момент времени, например, в момент отхода берда от опушки. При проектировании цикловой диаграммы работы батана, например, с выстоем в переднем положении, возникает необходимость определения времени затухания свободных и свободных сопровождающих колебаний бруса. Для этого необходимо решение задачи о собственных колебаниях бруса по начальным условиям, определяемым при решении задачи о вынужденных колебаниях на второй фазе движения батана.

Выводы

Разработана математическая модель расчета вынужденных колебаний бруса батана широких металлоткацких станков с n лопастями, соответствующая его уточненной динамической модели на фазе взаимодействия берда с опушкой вырабатываемой сетки.